Demostrar que la configuración del punto maximizador en el círculo unitario para un funcional tipo Vandermonde es una valla

Question

Para $\lambda_i \in S^1 \subset \mathbb{C}$ , considere la función $H(\{\lambda_1, \ldots, \lambda_n\}):= \sum_{j < k} | \lambda_j - \lambda_k | $ . Quiero demostrar que $H$ es globalmente maximizada por alguna configuración de la valla, es decir, $\lambda_j = e^{2 \pi i (\alpha + j/n)}$ para algunos $\alpha \in \mathbb{R}$ .

Dejemos que $\lambda_j = e^{i \theta_j}$ con $0 \le \theta_1 \le \ldots \le \theta_n < 2 \pi$ . Utilizando la identidad $| e^{i \theta_1} - e^{i \theta_2}| = | 2 \sin \frac{\theta_1 - \theta_2}{2}|$ y el hecho de que $0 \le \theta_k - \theta_j < 2 \pi$ reduzco el problema a la maximización sobre $\theta_j$ satisfaciendo las restricciones anteriores, la siguiente función: $$ \sum_{j < k} \sin \frac{\theta_j - \theta_k}{2}.$$ Suponiendo que $\theta_j$ son distintas por ahora, diferenciar me da $$ \sum_{\ell < k} \cos \frac{\theta_\ell - \theta_k}{2} - \sum_{j < \ell} \cos \frac{\theta_j - \theta_\ell}{2} = 0, \qquad \forall \ell=1,\ldots, n.$$

¿Pero cómo termino?

Answer 1

Simon Rubinstein resolvió esto por mí usando la desigualdad de Jensen, como lo haría un verdadero probabilista.

Queremos demostrar que el valor maximizador es el que alcanza una valla en $S^1$ . Cualquier $n$ puntos en $S^1$ se pueden ordenar en sentido contrario a las agujas del reloj como $\lambda_1, \ldots, \lambda_n$ con un punto de partida arbitrario $\lambda_1$ . Sea $\Lambda_{m,i} = \{ \lambda_i , \lambda_{i+m}, \lambda_{i+2m}, \ldots \}$ y $|\Lambda_{m,i}| = k(m)$ . Podemos reducir el problema a demostrar que para cualquier $m < n$ la tupla maximizadora $(\lambda_i, \lambda_{i+m}, \lambda_{i+2m}, \ldots, \lambda_{i+k(m)m} )$ para el funcional $F_{m,i} = \sum_j |\lambda_{i + jm} - \lambda_{i+(j-1)m} |$ está dado por el de la igualdad, es decir, una valla de sub-picket. Obsérvese que este funcional es diferente de mi original (llámese $F$ ), aunque están íntimamente relacionados: $F$ es la suma de un conjunto fijo de $F_{m,i}$ 's. Así que la suma de máximos de estos últimos es $\geq$ el máximo de la primera, aunque lo contrario no es necesariamente cierto.

Para demostrar que $F_{m,i}$ es maximizada por la valla, una forma es invocar a Jensen (ejercicio). Sin embargo, como alternativa, si $\Lambda_{m,i}$ no es un piquete, entonces habrá dos arcos adyacentes de longitudes desiguales. Es decir, hay tres puntos $\lambda_{i+(j-1)m}, \lambda_{i+jm}, \lambda_{i+(j+1)m}$ tal que $|\lambda_{i+(j-1)m} - \lambda_{i+jm}| \neq |\lambda_{i+jm} - \lambda_{i + (j+1)m} |$ . Entonces, moviendo $\lambda_{i+jm}$ a la mitad de $\lambda_{i+(j-1)m}$ y $\lambda_{i+(j+1)m}$ aumenta la $F_{i,m}$ . Por lo tanto, la única local máximo de $F_{i,m}$ es la valla.