¿Debemos exigir la existencia de la densidad de probabilidad en términos de aplicación estadística?

Question

Es obvio que la densidad de probabilidad no existe necesariamente para una distribución de probabilidad dada. Sin embargo, muchas aplicaciones estadísticas asumen la existencia de la densidad e incluso utilizan funciones de densidad de forma cerrada. Por ejemplo, al calcular las distribuciones posteriores solemos utilizar las funciones de densidad de los datos y las previas. En la escuela de pruebas de hipótesis de Neyman-Pearson, se utiliza la razón de verosimilitud. Hay muchos más ejemplos. Así que me pregunto si la existencia de densidades de probabilidad es esencial para la estadística, tanto en la teoría como en las aplicaciones.

Mi formación es principalmente en probabilidad y tengo menos experiencia con la estadística. Tal vez se me escapen muchos modelos estadísticos de uso común, pero agradecería mucho que alguien me lo indicara.

Merci !

Answer 1

¿Densidad frente a qué medida dominante? La pregunta es algo confusa, pero la entiendo como una pregunta sobre por qué un análisis estadístico suele suponer que todas las distribuciones dentro del conjunto $\mathfrak F$ de las distribuciones potenciales del conjunto de datos observados $\mathbf x$ están dominados por o absolutamente continua con respecto a la misma medida $\text{d}\mu$ por lo que todos admiten densidades $f_\theta$ contra esta medida $\text{d}\mu$ $$\mathfrak F=\left\{ f_\theta(\cdot)\text{d}\mu;\ \theta\in\Theta \right\}$$

A menos que haya una razón realista para introducir una familia de distribuciones de probabilidad con componentes ortogonales, esta suposición es menor si se considera que la suposición de que los datos provienen de una distribución es un salto de fe mucho más fuerte. Obsérvese además que en el caso de que los elementos de $\mathfrak F$ no son todos absolutamente continuos con la misma medida dominante, la noción central de probabilidad no se puede definir . Pero en estos casos inusuales, dado que todas las medidas tienen componentes ortogonales, existen realizaciones de los datos que identifican de forma única el miembro de $\mathfrak F$ que generaron estas realizaciones. Asintóticamente, la distribución se identifica de forma única con los datos.