Para lo cual $n$ es $2^{2x+2} \equiv 2\pmod n \quad\text{and}\quad 2^{2x+2} \equiv 4\pmod {n-1} $

Question

Comenzamos con \begin{align*} 2(2^p+n^2-1-2n) \equiv 0\pmod n \quad&\text{and}\quad 2(2^p+n^2-1-2n) \equiv 0\pmod {n-1} \\ \end{align*} Que reducimos a \begin{align*} 2^p\equiv1\pmod{\frac n{2}} \quad&\text{and}\quad 2^{p-1}\equiv1\pmod{\frac{n-1}{4}}. \end{align*}

Queremos demostrar que $p$ no puede ser impar, considerando que $n \ge 3$

Así que dejamos que $p=2x+1$ (buscando demostrar por contradicción) \begin{align*} 2^{2x+2} \equiv 2\pmod n \quad&\text{and}\quad 2^{2x+2} \equiv 4\pmod {n-1} \\ \end{align*}

Sé que $a^b \equiv a\pmod b$ Así que asumo que debería ir en esa dirección. Y una cosa más, $$\frac{2(2^{p} + n^{2} - 1 - 2n)}{n(n-1)} = s$$ donde $s$ es un número entero y $s \ge 3$ . Tengo razones para creer que la única vez que $p$ puede ser impar es cuando $n=2, s=2^p-1$

Además, las 3 variables deben ser números enteros positivos ( $s,n,p$ )

EDIT: Parece que hay soluciones incluso cuando $n$ no es igual a $2$ pero la pregunta sigue siendo: ¿para qué? $n$ ¿puede ser cierto?

Answer 1

EDIT: Para un contraejemplo, pruebe $p=11$ y $n=23$ Tenemos $2(2^p+n^2−1−2n)=5060=10 \cdot 23 \cdot 22$ .

RESPUESTA INCORRECTA: Creo que he encontrado un contraejemplo. Poner $p = 3$ y $n = 7$ . Entonces, $2(2^p+n^2−1−2n) = 2(8+49-1-14) = 2(42) = 84$ . Esto es divisible por ambos $n = 7$ y $n-1 = 6$ pero $p = 3$ es impar.