Subgrupo abeliano y proposición $ab^{-1}$

Question

Si $G$ es un grupo abeliano y $n\in\mathbb{N}$ , demuestran que $H=\{x\in G:x^n=e\}$ es un subgrupo de $G$ .( $e$ representa el elemento neutro. )

Primero compruebo si H es un subgrupo, aplicando el siguiente teorema:

Propuesta : Dejemos que $G$ sea un grupo y $H$ un subconjunto no vacío de $G$ . $H$ es un subgrupo de $G$ si $\forall a,b\in H, ab^{-1}\in H$

Prueba :

1) Como $H\neq \emptyset$ Hay un $x\in H$ tal que $xx^{-1}\in H$ , ya que $a,b$ se definen como arbitrarias.

2) Desde $x\in G$ y $G$ es un grupo, entonces $xx^{-1}=e$ Así que $e\in H$ .

Ahora pruebo que $H$ es cerrado bajo la operación definida en G.

3) Si $x,y\in H $ por lo que es $xy^{-1}$ por 2), resulta que $x(y^{-1})^{-1}=xy\in H$ .

La asociatividad se deduce por el hecho de que $H$ es un subconjunto de $G$ .

Problema de la prueba : Ahora volviendo al problema:

Desde $H\subset \{\forall x\in G\}$ , la H es abeliana. Si $x,y\in H$ , $x^ny^{-n}\in H$ entonces H es un subgrupo de G. $x^ny^{-n}=e(y^{n})^{-1}=e$ , lo que demuestra que $H\leq G$ .

Preguntas:

a) Me gustaría que alguien pudiera comprobar mi prueba, especialmente la prueba de la proposición.

b) ¿Qué opinas de que un subgrupo de un grupo abeliano sea necesariamente un subgrupo abeliano? ¿Es esto cierto?

Gracias de antemano.

Answer 1

En la demostración de la proposición, entiendo que 1) y 2) juntos pretenden demostrar que $e\in H$ . Esta parte está bien: Se utiliza la no-empatía de $H$ para producir un elemento $x\in H$ y, a continuación, el criterio de la Proposición con $a=b=x$ para ver que $e=xx^{-1}\in H$ .

Ahora bien, antes de la 3), yo diría que también hay que demostrar que para cualquier $x\in H$ la inversa $x^{-1}$ también está en $H$ ? Esto se deduce aplicando con $a=e$ y $b=x$ : Entonces también $ex^{-1} = x^{-1}\in H$ . Si tenemos esto, entonces en 3) tenemos que de $x$ , $y\in H$ lo siguiente $y^{-1}\in H$ y luego a partir del criterio de la proposición con $a=x$ y $b=y^{-1}$ vemos $xy=x(y^{-1})^{-1}=ab^{-1}\in H$ .

Finalmente, como "iff" significa "si y sólo si", existe la otra dirección: cuando $H$ es un subgrupo, entonces $ab^{-1}\in H$ para todos $a$ , $b\in H$ ... pero esto es fácil.

Ahora la otra prueba. Es cierto que un subgrupo de un grupo abeliano es a su vez abeliano, pero ese hecho no es necesario aquí, y en el lugar donde lo usas, todavía quieres demostrar que $H$ es un subgrupo, por lo que no tiene sentido aplicarlo allí.

Para demostrar que $H$ es un subgrupo, quieres usar la proposición, así que tienes que demostrar dos cosas:

1. $H$ no está vacío. Así que tienes que demostrar que hay algún $x\in G$ con $x^n = e$ .

2. Cuando $a$ y $b$ están en $H$ entonces también $ab^{-1}$ está en $H$ . Por lo tanto, supongamos que $a^n=e = b^n$ y tienes que demostrar que $(ab^{-1})^n=e$ . (Aquí necesitará que $G$ es abeliano). (Añadido después:) Así que no se trata de mostrar $x^ny^{-n} = e$ o similar. Aquí su prueba no es, por desgracia, correcta.

Puedo añadir más detalles para la última parte, pero espero que esté más claro ahora