¿Cuál es el número mínimo y máximo de vectores propios?

Question

Me dan los valores propios de una matriz cuadrada de 8x8. Todos son distintos de cero. He determinado que la matriz es diagonalizable y tiene una inversa. En una parte del problema, se me pide que encuentre el número máximo y mínimo de vectores propios que podría tener la matriz.

Como A es diagonalizable, ¿significa eso que tendrá n vectores propios linealmente independientes? Entonces, ¿el número máximo y mínimo de vectores propios es 8?

Answer 1

Correcto, un $n\times n$ matriz que es diagonalizable debe tener un conjunto de $n$ vectores propios linealmente independientes -- las columnas de la matriz diagonalizadora son un conjunto de este tipo.

En general, si un $n\times n$ La matriz tiene $k$ valores propios distintos, entonces puede haber en general entre $k$ y $n$ vectores propios linealmente independientes.

Para todo esto, no importa si los valores propios son o no distintos de cero.

Answer 2

Si $\vec v$ es un vector propio, entonces también lo es $t \vec v$ para todos los reales $t$ . Si preguntan por eigenvectores linealmente independientes, entonces tienes razón, pero si sólo preguntan por eigenvectores, yo diría que el mínimo y el máximo son siempre infinitos.

Answer 3

Sí: Si $A$ es diagonalizable, entonces existe una base $v_1,\dots,v_8$ , s.t. $D=U^{-1}AU$ es diagonal, donde $U$ tiene $v_1,\dots, v_8$ como columnas. En ese caso, cada $v_i$ es un vector propio de la $i$ -elemento diagonal de $D$ .

EDIT: Por supuesto, toda matriz con al menos un valor propio $\lambda$ tiene infinitos vectores propios (como se señala en los comentarios), ya que el espacio propio correspondiente a $\lambda$ es al menos unidimensional.

Bueno, para ser más precisos: Depende del campo subyacente...