Dejemos que \begin{equation*}A=\mathbb{Z}[x_{ij}: 1 \leq i < j \leq n]/(x_{ij}x_{kl}=x_{ik}x_{jl}+x_{il}x_{kj} \; \text{for} \; 1\leq i < j < k <l \leq n) \end{equation*} y \begin{equation*} B=\mathbb{Z}[x_{ij}:1 \leq i < j \leq m]/(x_{ij}x_{kl}=x_{ik}x_{jl}+x_{il}x_{kj} \; \text{for} \; 1\leq i < j < k <l \leq m), \end{equation*} con $m < n$ donde ambos $m,n \in \mathbb{N}$ . Estoy tratando de pensar en un homomorfismo de anillo de $A$ a $B$ pero no estoy seguro de cómo debería ser. Intuitivamente, debería ser algún tipo de mapa de proyección, pero ¿cómo podría definirlo rigurosamente?
Respuesta
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Tenemos mapas $\pi_A: \mathbb{Z}[x_{ij}: 1 \leq i < j \leq n] \longrightarrow A$ y $\pi_B: \mathbb{Z}[x_{ij}: 1 \leq i < j \leq m] \longrightarrow B$ .
Desde $m<n$ obtenemos un mapa de proyección (olvidando algunas variables) $$\varphi: \mathbb{Z}[x_{ij}: 1 \leq i < j \leq n] \longrightarrow \mathbb{Z}[x_{ij}: 1 \leq i < j \leq m]$$
Ahora bien, si miramos la composición $\pi_B \varphi:\mathbb{Z}[x_{ij}: 1 \leq i < j \leq n] \longrightarrow B$ podemos ver que $I:=(x_{ij}x_{kl}=x_{ik}x_{jl}+x_{il}x_{kj} \; \text{for} \; 1\leq i < j < k <l \leq n) \subset \ker(\pi_B\varphi)$ .
Esto es así porque $m<n$ por lo que si tenemos las relaciones para $n$ los tenemos después de la proyección para $m$ .
Por tanto, podemos utilizar la propiedad universal de los anillos cocientes para obtener un morfismo único $\phi:A \longrightarrow B$ , s.t. $\phi \pi_A =\pi_B \varphi$ .
En particular, se trata de un homomorfismo de anillo, ya que todos los demás mapas son también homomorfismos de anillo.
