Como sugiere el título, vamos a $f$ sea un monomorfismo y un epimorfismo regular. La segunda condición significa que f es la flecha de un coequipamiento de un par de flechas $x,y: X \to Y$ Por lo que he entendido. Si no me equivoco, $f$ al ser un monomorfismo implica que $x=y$ , ya que $fx=fy$ por definición de epimorfismo regular. Entonces, podemos considerar el morfismo de identidad $1_Y: Y \to Y$ , que se basa en los factores de $f$ , por definición de coigualador, por lo que obtenemos $1_Y = uf$ . Creo que esto demuestra que $f$ tiene un inverso a la izquierda, pero ahora tengo que demostrar que tiene un inverso a la derecha, ¿verdad? ¿Alguna pista?
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Mark
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Si $f$ es el coequipamiento de $x$ y $y$ entonces $f \circ x = f \circ y$ . Si $f$ es además mónico, entonces $x = y$ . Pero el coigualador de dos mapas iguales es un isomorfismo - en particular, un ejemplo del coigualador de $x$ y $y$ es el mapa $1_Y : Y \to Y$ que es un isomorfismo. Y como los coigualadores son únicos hasta isomorfismos únicos, $f$ debe ser un isomorfismo.
