Aplicaciones divertidas de las representaciones de grupos finitos

Question

¿Existen aplicaciones divertidas de la teoría de representaciones de grupos finitos? Me gustaría tener algunos ejemplos que pudieran ser explicados a un estudiante que sabe lo que es un grupo finito pero no sabe mucho sobre lo que es una representación (digamos que conoce la definición). La aplicación estándar que se suele mencionar es el teorema de Burnside http://en.wikipedia.org/wiki/Burnside_theorem . La aplicación puede ser de cualquier tipo, no necesariamente en matemáticas. ¡¡¡Pero las aplicaciones de matemáticas son, por supuesto, muy bienvenidas también!!! Sería muy útil también si describieras un poco esta aplicación.

Answer 1

Un ejemplo del libro de Kirillov sobre la teoría de la representación: escribe los números 1,2,3,4,5,6 en las caras de un cubo, y sigue sustituyendo (simultáneamente) cada número por la media de sus vecinos. Describe (aproximadamente) los números en las caras después de muchas iteraciones.

Otro ejemplo que me gusta utilizar al principio de un curso de repaso de grupos: escribir la tabla de multiplicación en un grupo finito, y pensar que se trata de una matriz cuadrada cuyas entradas son variables formales correspondientes a elementos del grupo. Entonces el determinante de esta matriz es un polinomio en estas variables. Describe su descomposición en irreducibles. Esta pregunta, que a Frobenius le planteó Dedekind, le llevó a la invención de los caracteres de grupo.

Una función en dos variables puede descomponerse de forma única como una suma de una función simétrica y antisimétrica (sesgo-simétrica). ¿Qué ocurre con tres y más variables? ¿Qué tipos de simetrías existen?

Answer 2

Como ha señalado Anweshi hace un momento, una respuesta clásica es el uso de tablas de caracteres por parte de los químicos (como se explica en este libro por ejemplo). El grupo de simetría de una molécula controla su espectro vibracional, como se observa en la espectroscopia IR. Cuando Kroto et al. descubrieron $C_{60}$ Utilizaron este método para demostrar su simetría icosaédrica.

Answer 3

Me sorprende que nadie haya mencionado esto: el hecho de que un núcleo de Frobenius sea un subgrupo normal. No está claro a priori que el conjunto de elementos que no fijan ningún punto sea un subgrupo en absoluto. Me han dicho que todavía no hay ninguna prueba completamente teórica de grupos (sin teoría de caracteres) de este hecho.

Answer 4

Me encanta la demostración del teorema de Hurwitz de que un álgebra de división normada tiene que tener dimensión 1, 2 o 4 utilizando la teoría de representación de los grupos elementales de 2.

Más tarde: la referencia original del argumento es [Eckmann, Beno. Gruppenthetischer Beweis des Satzes von Hurwitz-Radon über die Komposition quadratischer Formen. (Alemán) Comentario. Math. Helv. 15, (1943). 358--366. MR0009936 (5,225e)] No conozco una exposición más reciente, salvo unos apuntes de un curso corto de Esther Galina de hace unos años (que deben estar en su página web--en español, eso sí)

Answer 5

Serre menciona en su libro que la primera parte y los ejemplos son muy relevantes para los químicos cuánticos. Si puedes desenterrarlo, puede resultar muy emocionante. Tal vez, sea para entender la estructura de los cristales, etc.