Dejemos que $M$ ser un $n\times n$ matriz con entradas complejas. Y dejemos que $\lambda$ sea un valor propio de $M$ con el correspondiente eigespacio $E_M(\lambda)$ .
Es fácil ver que $M(E_M(\lambda))\subset E_M(\lambda)$ pero, en general, no es cierto que $M(E_M(\lambda)^\bot)\subset E_M(\lambda)^\bot. $
Mi pregunta: Si $M$ es normal, ¿es cierta esta última inclusión?
No soy capaz de demostrarlo, ni de encontrar un contraejemplo, de ahí que lo pregunte.
Respuesta
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Esto es cierto. Una forma de verlo es utilizando el teorema espectral para matrices normales. Denotemos por $\lambda_1, \dots, \lambda_k$ los distintos valores propios de $A$ . Entonces tenemos $\mathbb{C}^n = \bigoplus_{i=1}^k E_M(\lambda_i)$ y esta es una descomposición ortogonal de suma directa. Por lo tanto, $E_M(\lambda_i)^{\perp} = \bigoplus_{j \neq i} E_M(\lambda_j)$ y el resultado se deduce por el hecho de que $M(E_M(\lambda_j)) \subseteq E_M(\lambda_j)$ .
Alternativamente, para una matriz normal se sostiene que $E_M(\lambda) = E_{M^{*}}(\overline{\lambda})$ . Entonces, si $x \in E_M(\lambda)^{\perp}$ y $y \in E_M(\lambda)$ tenemos
$$ \left< Mx, y \right> = \left< x, M^{*}y \right> = \left<x, \overline{\lambda}y \right> = \lambda \left< x, y \right> = 0$$
y así $Mx \in E_{M}(\lambda)^{\perp}$ .
De hecho, se puede demostrar que $M$ es una matriz normal si y sólo si para todo $M$ -subespacios invariantes $W$ (es decir, $M(W) \subseteq W$ ) tenemos que $W^{\perp}$ también es $M$ -invariante (es decir, $M(W^{\perp}) \subseteq W^{\perp}$ ). En particular, esto es válido para los eigenspaces de $M$ .
