¿Qué podemos decir acerca de $(I-AD)^{-1}$ si $D$ es una matriz diagonal?

Question

Asumir sabemos que las matrices cuadradas $A$ $(I-AD)^{-1}$ es invertible y también a $D$ es una matriz diagonal. Asimismo, se asume que $A$ es una matriz simétrica. Mi pregunta es cuando podemos expresar $(I-AD)^{-1}$ como una función de la $A, D, A^{-1}, D^{-1}, (I-A)^{-1}$ (sin términos $(A-D)^{-1}$ o $(A^{-1}-D)^{-1}$) ?

Por ejemplo, cuando la matriz a es de rango 1, entonces tenemos:

$(I-AD)^{-1}=I+\frac{1}{1-tr(AD)} AD$. Como se puede ver si a es de rango 1, entonces podemos hacer esto fácilmente.

La única relacionados con el papel que he encontrado es un papel por Kenneth S. Miller, pero no es útil para el mayor rango de las matrices.

Sé que puede ser muy difícil para los generales de la matriz $A$, pero se puede hacer en casos especiales, donde por ejemplo, la matriz a es positivo semidefinite? Cualquier comentario es muy apreciada.

Answer 1

Yo tengo una respuesta a la siguiente pregunta : hay cuatro variables (no necesariamente conmutativo) polinomio $f$ de manera tal que la identidad

$$ (I-AD)^{-1}=f (a(I-A)^{-1},a,D,^{-1},D^{-1}) \etiqueta{1} $$

se mantiene, siempre que $A$ es simétrica positiva definida, y $D$ es invertible y diagonal ?

La respuesta es NO. De hecho, esto ya es imposible cuando se $n=2$ y $$D=\left(\begin{matrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \end{matrix}\right).$$ Si escribimos

$$ A=\left(\begin{matrix} a & b \\ b & a \end{de la matriz}\right) $$

con $a\gt 0$$a\gt b$, luego

$$ \det(A)=a^2-b^2, \det(I-A)=a^2-2a-b^2+1, \det(I-AD)=6a^2-5a-6b^2+1 $$

Por lo tanto el lado derecho de (1) siempre tienen un denominador de la forma

$$ (a^2-b^2)^p (a^2-2a-b^2+1)^q, $$

donde $p$ $q$ son enteros. Ahora del lado izquierdo de (1) será siempre un denominador de la forma $(6a^2-5a-6b^2+1)^r$. Ya tenemos tres diferentes polinomios irreducibles en ${\mathbb Q}[a,b]$ aquí, los denominadores nunca coinciden.