Sudokus como tablas de composición de grupos finitos

Question

Si $G$ es un grupo finito, entonces la tabla de composición de $G$ es un cuadrado latino (es decir, cada fila y columna contiene cada elemento del grupo exactamente una vez).

Supongamos ahora que $|G| = n^2$ para algún número natural $n$ . A continuación, podemos dividir la tabla de composición para $G$ en $n^2$ $n\times n$ cuadrados, y podemos preguntarnos si la tabla resultante es un sudoku resuelto (de tamaño $n^2\times n^2$ en lugar del habitual $9\times 9$ ).

Al hacer la tabla de composición para $G$ Hay dos opciones. Una es la ordenación de los elementos para las filas, y la otra es la ordenación de los elementos para las columnas. Observando la fila y la columna correspondientes a la identidad, se puede ver que si elegimos la misma ordenación para filas y columnas, entonces la tabla de composición no puede ser un sudoku (si etiquetamos las entradas de la tabla de composición como $a_{i,j}$ y la fila/columna correspondiente a la identidad es $k$ entonces tenemos $a_{k-1,k} = a_{k,k-1}$ y $a_{k+1,k} = a_{k,k+1}$ y al menos uno de estos pares pertenece al mismo $n\times n$ cuadrado).

Si $G$ es cíclica, entonces sí que podemos hacer de la tabla de composición un sudoku de la siguiente manera: Escribe $G = \{0,1,\dots ,n^2 - 1\}$ (identificados con los enteros mod $n^2$ ). Ordena las columnas de forma natural (es decir, en orden creciente con los representantes elegidos), y ordena las filas en bloques de $n$ tal que en cada bloque, la diferencia entre términos consecutivos es $n$ (de modo que cada bloque está formado por aquellos elementos con un residuo determinado mod $n$ en orden creciente).

Para el grupo no cíclico de orden $4$ También es posible (es fácil hacerlo por ensayo y error). Para el grupo no cíclico de orden $9$ es de nuevo posible, pero lleva un tiempo encontrar algunos ordenamientos que funcionen. Las que funcionan son las siguientes: Sea el grupo generado por dos elementos $a$ y $b$ y ordenar las columnas como $1,ab,a^2b^2,a,b^2,a^2b,a^2,ab^2,b$ y las filas como $1,a,b,ab,a^2,b^2,a^2b,ab^2,a^2b^2$ .

Mi pregunta es: ¿Para qué grupos es posible encontrar ordenaciones de las filas y columnas que conviertan la tabla de composición en un sudoku?

Edición: Tenga en cuenta que si esto es posible para algún grupo $G$ entonces cada uno de esos $n\times n$ cuadrados corresponden a un par de subconjuntos $A,B\subseteq G$ de tamaño $n$ tal que $AB = G$ .

De hecho, es posible si existen subconjuntos $A_i$ y $B_i$ de $G$ todo de tamaño $n$ tal que $$G = \bigcup_{i=1}^n A_i = \bigcup_{i=1}^n B_i$$ y tal que para todo $i,j$ tenemos $A_iB_j = G$ .

Answer 1

Un caso en el que es posible un arreglo sudoku es cuando $G$ tiene un subgrupo $H$ de orden $n$ . Sea $Ha_1, Ha_2, \ldots Ha_n$ sean los cosets derechos de $H$ y que $T_1, T_2, \ldots, T_n$ sea una partición de $G$ en conjuntos completos de representantes del coset izquierdo . Es decir, cada $T_i$ contiene exactamente un elemento de cada coset izquierdo de $H$ y $T_i \cap T_j = \emptyset$ para $i \neq j$ .

Ordena las columnas enumerando cada elemento de $Ha_1$ primero, y después cada elemento de $Ha_2$ y así sucesivamente hasta $Ha_n$ . Del mismo modo, ordene las filas enumerando cada elemento de $T_1$ primero, y luego $T_2$ y así sucesivamente hasta $T_n$ . A continuación, cada $n \times n$ contiene elementos de un bloque $Ha_i$ en las columnas y elementos de algunos $T_j$ en las filas. Resulta que esta disposición nos da una tabla de sudoku.

Debemos demostrar que cada elemento de $G$ ocurre exactamente una vez en el bloque correspondiente a $Ha_i$ y $T_j$ . Es decir, queremos demostrar que $T_jHa_i = G$ y esto se deduce del hecho de que no hay repeticiones en el bloque. Supongamos que $s_k, s_{k_0} \in T_j$ y $h, h_0 \in H$ . Si $s_kha_i = s_{k_0}h_0a_i$ entonces $s_kH = s_{k_0}H$ así que $s_k = s_{k_0}$ desde $T_j$ contiene exactamente un representante para cada coset izquierdo. Así, $h = h_0$ también.

Encontré la idea para la construcción aquí donde se considera un problema un poco más general. Si $|G| = ab$ y $[G:H] = a$ entonces la misma construcción que en esta respuesta te da una tabla de sudoku con bloques de tamaño $a \times b$ .