Cómo evaluar $f(x^2 - 3)$ dado $f(x^2 + 1)$ ?

Question

Problema: Si $f(x^2 + 1) = x^4 + 5x^2 - 9$ entonces $f(x^2 - 3) = kx^4 + wx^2 + p$ donde $k$ , $w$ y $p$ son números enteros. Encuentra el valor de $(k + w + p)$ .

Me parece bien hacer problemas donde el argumento sea alguna expresión y tengamos la función original $f(x)$ Pero, ¿cómo se puede trabajar a la inversa para resolver este problema (si mi método es correcto)? De lo contrario, ¿hay una manera de saltar directamente de $f(x^2 + 1)$ a $f(x^2 - 3)$ ?

Answer 1

Tenemos $$f(x^2+1) = x^4 + 5x^2 -9 = (x^2+1)^2 + 3(x^2+1) - 13$$ Esto significa que $$f(y) = y^2+3y-13$$ Ahora deberías ser capaz de completarlo.

Answer 2

Una pista:

Supongamos que $f(u)=u$ , entonces si $f$ es la misma función exacta $f(x)=x$

Utiliza esta idea, y sustituye $u^2-4=x^2$

También para futuras referencias supongamos que tenemos,

$$F(g(x))=z(x)$$

¿Cómo conseguimos $F(x)$ ¿regresar?

El procedimiento estándar es dejar que $u=g(x)$ . Entonces, $g^{-1}(u)=x$ (función inversa). Si lo enchufamos todo, obtenemos:

$$F(u)=z(g^{-1}(u))$$

Así que

$$F(x)=z(g^{-1}(x))$$