¿Ejemplos de cierres de órbitas de Richardson que no tienen una resolución simpléctica?

Question

Esta es la continuación de una pregunta reciente formulada por Peter Crooks aquí . La respuesta de Ben Webster incluye una útil enlace a la versión arXiv corregida de la obra de Baohua Fu de 2003 Invent. Math. de Baohua Fu Resoluciones simplécticas para órbitas nilpotentes .

La mayor parte de esta literatura me es desconocida, así que puede que esté pasando algo por alto. Me he encontrado con órbitas nilpotentes principalmente en relación con varios tipos de teoría de la representación (a veces en característica primera buena, donde la mayoría de las propiedades de las órbitas son las mismas que sobre $\mathbb{C}$ ). En este punto todavía estoy confundido acerca de algunos detalles, tales como:

¿Existen órbitas de Richardson cuyos cierres no tengan una resolución simpléctica (y si es así, cuál es el álgebra de Lie de menor rango en el que aparece un ejemplo)?

EDIT: Aquí estoy usando la taquigrafía para evitar preguntas de normalidad: léase "para los que las normalizaciones de sus cierres no tienen ...? (Aparentemente la clasificación de las órbitas normales no está completa todavía para algunos tipos excepcionales).

Como señala Fu en la proposición 3.16, se deduce del teorema principal del trabajo que una órbita nilpotente cuyo cierre admite una resolución simpléctica debe ser Richardson (intersección de la nilradical de alguna subálgebra parabólica en una órbita densa). A su vez un revisor afirma: "Pero lo contrario no siempre es cierto". No veo pruebas directas de ello en el artículo de Fu. Aquí se estudian las álgebras de Lie simples caso por caso: todas las órbitas de tipo $A_n$ son Richardson, con grupos de componentes triviales, lo que obliga a que sus cierres tengan resoluciones simplécticas. En los tipos $G_2, F_4, E_6$ todas las órbitas de Richardson tienen también grupos componentes triviales, mientras que unas pocas órbitas de este tipo en los tipos $E_7, E_8$ tienen grupos de componentes de orden 2 y se dejan sin resolver en el documento. (Estos casos fueron tratados posteriormente de forma geométrica aquí .)

El debate sobre los tipos $B_n, C_n, D_n$ me deja algo confundido, ya que los ejemplos explícitos mencionados entre la Prop. 3.21 y la Prop. 3.22 no son órbitas de Richardson. Esto hace que se plantee la pregunta anterior.

AÑADIDO: Fu reduce el problema (para una órbita de Richardson) a la cuestión de si existe o no una parábola $P$ definiendo la órbita para la que $N(P)=1$ . Este es el índice en el grupo de componentes completo en $G$ (topológicamente, grupo fundamental) del grupo componente en $P$ de un elemento de la órbita $X$ . (Aquí "grupo de componentes" significa el grupo $C_G(X)/C_G(X)^\circ$ .) No está claro cómo calcular $N(P)$ en todos los casos, lo que puede ser la razón por la que Fu renunció a los casos sobrantes en los tipos $E_7,E_8$ . Me pregunto sobre la afirmación ingenua (¿presumiblemente falsa?) de que el cierre de una órbita tiene una resolución simpléctica si la órbita es Richardson. Lo que me molesta es que Fu parece mencionar sólo ejemplos de órbitas que no son de Richardson, como las órbitas mínimas en tipos distintos de $A_n$ etc.

Answer 1

La información relevante está en el artículo de Hesselink: Polarizaciones en los grupos clásicos .

Fijar una parabólica $P$ y un elemento de Richardson $u$ . Sea $N(u,P)$ sea el número de conjugados de $P$ que contienen $u$ (el número de polarizaciones de $u$ ). En la notación de Hesselink, esto es $N_1(P)$ .

EDITAR : Me di cuenta de que había leído mal a Hesselink; $N(P)$ no es la misma para todas las polarizaciones.

Teorema (Fu): Un cierre de órbita nilpotente $\bar{O}$ tiene una resolución simpléctica si y sólo si $O$ es normal y Richardson con una polarización tal que $N(P)=1$ .

No entendí bien lo que pasaba en las mesas de Hesselink. Hay que buscar las entradas que sólo tienen una clase de conjugación de polarizaciones que tienen $N_1=2$ (esto es más fuerte de lo que necesitas, pero todos los ejemplos de Hesselink tienen esta forma). Parece que los primeros ejemplos malos de cada serie son las órbitas de Richardson para el estabilizador de una línea en $Sp(6)$ (se denota $C_2$ ), el estabilizador de un espacio de 4 en $SO(9)$ (se denota $A_3$ ), y el estabilizador de un 5-espacio en $SO(12)$ (se denota $A_4$ (esta última estoy menos seguro de haberla entendido bien). Si he entendido bien, inducir a estos para arriba debe dar malos ejemplos de mayor rango en estas series.

Answer 2

Sólo añado una referencia a la bibliografía en la que parece haber surgido esta cuestión:

" Cálculo de involuciones distinguidas canónicas en los grupos afines de Weyl " - Chmutova, Ostrik ( pdf )

La pregunta la formulan como : "¿Son todas las órbitas Richardson fuertemente Richardson?" ("fuertemente Richardson" es su término para referirse a la existencia de una resolución que satisface las propiedades necesarias). La versión publicada del artículo (enlace pdf más arriba) también incluye una familia de contraejemplos (== uno de los ejemplos aludidos en la respuesta de Ben).