Otra pregunta de análisis complejo

Question

Voy a tener un examen de análisis pronto y encontré la siguiente pregunta en un examen anterior:

Evaluar la integral en sentido antihorario

$$\int |z| \overline{z} \, dz$$

donde γ es la curva cerrada que consiste en la semicircunferencia superior

$$|z| = R,\quad R>0$$

y el segmento

$$ \{z = x + iy \text{ complejo} : -R < x < R, y = 0 \}$$

¿Alguien podría decirme cómo resolver esto? No puedo entender cómo debería empezar.

Answer 1

Comencemos con la definición de integrales de camino: $$ \int_\gamma f(z) \, dz = \int_a^b f(\gamma(t))\gamma'(t) \,dt $$

Para el semicírculo superior, tenemos la siguiente parametrización: $$ \gamma_1(t) = R e^{i t} \quad t \in [0, \pi] $$

Tenemos $\gamma'(t) = iRe^{it}$. También notemos que en el círculo $|z| = R$ y $\overline{z} = R e^{-it}$. Sustituyendo en la definición obtenemos: $$ \int_{\gamma_1} f(z) \,dz = \int_0^\pi iR^3 \,dt = i \pi R^3 $$

¿Puedes hacer lo mismo para el segundo segmento y sumar los resultados?

Answer 2

$$ \int |z| \bar z \, dz $$

Al integrar a lo largo del segmento de $-R$ a $R$ en la recta real, simplemente tenemos $$ \left(\int_{-R}^0 + \int_0^R\right) |z|\bar z \, dz = \int_{-R}^0 -z^2\,dz + \int_0^R z^2\,dz. $$ Por simetría, estos se cancelan entre sí.

Ahora mira la semicircunferencia: $$ \int |z| \bar z \, dz = R\int \bar z\,dz = R \int_0^\pi R(\cos\theta-i\sin\theta)\, d(R(\cos\theta+i\sin\theta)) $$ $$ = R^3 \int_0^\pi (\cos\theta-i\sin\theta) (-\sin\theta+i\cos\theta)\,d\theta $$ $$ = R^3 \int_0^\pi i\,d\theta = R^3 i \pi. $$

Answer 3

$$\int_{[-R,R]}|z|\overline z\,dz=\int\limits_{-R}^R|x|(x-iy)\,dx\stackrel{y=0}=\int\limits_{-R}^0-x\cdot x\,dx+\int\limits_0^R x\cdot x\,dx=\left.\left.-\frac{1}{2}\left[x^2\right|_{-R}^0+x^2\right|_0^R\right=$$

$$=-\frac{1}{2}\left(-R^2+R^2\right)=0$$

$$\int\limits_{|z|=R}|z|\overline z\,dz=R\int\limits_0^\pi Re^{-it}(Rie^{it}dt)=\ldots$$

En español sería:

$$\int_{[-R,R]}|z|\overline z\,dz=\int\limits_{-R}^R|x|(x-iy)\,dx\stackrel{y=0}=\int\limits_{-R}^0-x\cdot x\,dx+\int\limits_0^R x\cdot x\,dx=\left.\left.-\frac{1}{2}\left[x^2\right|_{-R}^0+x^2\right|_0^R\right=$$

$$=-\frac{1}{2}\left(-R^2+R^2\right)=0$$

$$\int\limits_{|z|=R}|z|\overline z\,dz=R\int\limits_0^\pi Re^{-it}(Rie^{it}dt)=\ldots$$