Necesito demostrar que la serie de potencias complejas $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz^n$ converge uniformemente en el disco compacto $|z| \leq r|z_0|,$ suponiendo que la serie converge para algún $z_0 \neq 0.$
Sé que la serie converge absolutamente para cada $z,$ tal que $|z|<|z_0|.$ Desde $\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_nz_0^n$ converge, por definición de convergencia esto significa que la parte de la cola de la serie puede hacerse arbitrariamente pequeña. Así que $\lim\limits_{n \rightarrow \infty}a_nz_0^n = 0$ y esto significa que $\exists M \in \mathbb{R}^{+}$ para que $|a_nz_0^n| \leq M$ para $n \geq M.$ Por lo que se deduce que $$|a_nz^n| \leq M \left|\dfrac{z}{z_0}\right|^n.$$ Así, $$\sum\limits_{n=0}^{\infty}|a_nz^n| \leq \sum\limits_{n=0}^{\infty}M \left|\dfrac{z}{z_0}\right|^n = M\sum\limits_{n=0}^{\infty}r^n,$$ donde $r<1$ (porque $|z|<|z_0| \implies \left|\dfrac{z}{z_0}\right|<1.$ )
Pero, ¿cómo empezar con esta convergencia uniforme?
