Hay varias razones para ello.
Una de las razones es, como ya has dicho, que para un espacio general, ¿cuál se supone que es el producto de intersección?
Para las variedades suaves, la idea suele ser la siguiente. Dado a submanifolds lisos, $N_1$ y $N_2$ de un colector $M$ , digamos de dimensión $d_i = \dim N_i$ y $n=\dim M$ entonces deben representar un elemento en $H_*(M)$ la homología en $M$ . ¿Cómo funciona esto? Bueno, si ambos $N_i$ son compactas y orientables, tienen una clase fundamental $\lbrack N_i \rbrack \in H_{d_i}(N_i)$ que nos da un elemento $i_*(\lbrack N_i \rbrack) \in H_{d_i}(M)$ mediante la inclusión de los submanifolds.
Ahora bien, si también $M$ es cerrado y orientado tenemos la dualidad de Poincaré y por lo tanto obtenemos las clases $\alpha_i \in H^{n-d_i}(M)$ que son duales de Poincaré a estas clases de homología $i_*(\lbrack N_i \rbrack)$ .
La pregunta natural que hay que hacerse es si el producto de la copa $\alpha_1 \cup \alpha_2 \in H^{2n-d_1-d_2}(M)$ permite cualquier interpretación geométrica. Ahora bien, ¿cómo se puede precisar cuál será la "interpretación geométrica" para las clases de cohomología?
Pues bien, de nuevo es natural pedir que su dual de Poincaré $PD(\alpha_1\cup\alpha_2) \in H_{d_1+d_2-n}(M)$ está representado por un submanifold (de la misma manera que antes, empujando la clase fundamental a lo largo de la inclusión).
Por lo tanto, observe que aquí hay dos pasos, en primer lugar quiere que esta clase de homología ESTÉ representada por ALGUNA submanifold, y ahora quiere saber, si este es el caso, si puede ser representada por una submanifold que también tenga algo que ver con las manifolds de las que partió para empezar (la $N_i$ ).
Resulta que, dada la situación que he descrito, es cierto que $PD(\alpha_1\cup\alpha_2)$ está representado por un bonito submanifold, concretamente por una intersección transversal de los dos submanifolds $N_1$ y $N_2$ .
Esto significa que, moralmente, se quiere tomar la intersección de los dos submanifolds (que entonces debería tener idealmente dimensión $d_1+d_2 -n$ ). Pero en general esto no es un submanifold, por lo que hay que cambiar esta intersección para que se crucen transversalmente, entonces la intersección sí es un submanifold liso.
Así que permítanme reunir lo que hemos utilizado, y lo que pudimos decir en ciertos casos especiales.
Para obtener algo así como un producto de intersección, se necesita una relación entre subespacios (adecuadamente agradables) de su espacio y clases de homología en el espacio grande que están representadas por estos subespacios. (Esto es posible para las variedades suaves).
Además, querrías que toda clase de homología pudiera obtenerse de este modo (ESTO, por ejemplo, NO es posible en general ni siquiera para las variedades suaves, de hecho Peter Teichner construyó una variedad concreta 6, y una clase de cohomología cuyo dual de poincaré no está representado por ninguna variedad).
Así que, efectivamente, a través de la dualidad de Poincaré, existe una estructura de anillo en la homología, pero en general no se puede describir en términos de la geometría de la propia variedad, sino que hay que utilizar la dualidad de Poincaré y el producto taza.
Así que creo que, una vez que uno entiende lo que realmente significa, que el producto de intersección en homología es "dual" al producto de copa en cohomología, se ve por qué en general no se debe esperar una estructura de anillo en la homología (integral singular) de un espacio arbitrario.
