Dejemos que $X$ sea una variedad proyectiva. Producto simétrico de $X$ es el cociente del producto $X^n$ por la acción del grupo simétrico $\Sigma_n$ permutando los factores.
¿Cuándo existe (como variedad algebraica)?
Respuesta
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Para fijar las ideas, deja que $K$ sea un campo y $X/K$ ser una separada $K$ -de tipo finito. Sea $G$ sea un grupo finito que opera sobre $X$ a través de $K$ -morfismos. Se dice que la operación es admisible siempre que cada órbita de $G$ está contenido en un subconjunto afín abierto de $X$ . Si la operación es admisible, entonces existe un par $(Y, p)$ que consiste en una separación de $K$ -sistema $Y$ de tipo finito y un morfismo finito y suryente $p\in Hom(X, Y)^G$ , de manera que el mapa $$Hom(Y, Z)\to Hom(X, Z)^G,\ f\mapsto f\circ p$$ es biyectiva para todos los esquemas $Z/K$ . Entonces $(Y, p)$ se dice que es el cociente de $X$ mod $G$ . (Véase SGA I, V.1 para este tipo de construcciones).
A partir de ahora supongamos que $X/K$ es proyectiva. Entonces $X$ es un subesquema cerrado de $P_n$ y cada subconjunto finito de $X$ está contenido en un subconjunto afín abierto de $X$ . Lo vemos: Si un grupo finito $G$ actúa sobre $X/K$ por $K$ -entonces la operación es automáticamente admisible.
Ahora toma un proyectivo $K$ -sistema $V/K$ . Entonces $V^n=V\times\cdots\times V$ es proyectiva sobre $K$ (Segre-embedding) y por lo tanto la operación natural del grupo simétrico $S_n$ en $V^n$ será admisible. En consecuencia, el cociente existe en ese caso.
Aparte: Puede ocurrir que $V^n/S_n$ no es suave, incluso si $V^n$ es suave sobre $K$ .
