Dejemos que $G$ sea un grupo finito y $f: G \to \Bbb Z$ sea un homomorfismo de grupos. Demostrar que para todo $x \in G$ , $f(x)=0$

Question

Tomé elementos en $G$ como { $a_1,a_2,...,a_n$ } considerando el orden de $G$ para ser como $n$ . No soy capaz de definir una función para demostrar $f(x)=0$ pero no soy capaz de probarlo. Por favor, ayuda.

Answer 1

Tenga en cuenta que $f(G)$ es un subgrupo finito de $\mathbb{Z}$ .
Pero como el único subgrupo finito de $\mathbb{Z}$ es el grupo trivial $\{0\}$ Debemos tener $$f(G)=\{0\}.$$ Eso es, $f(x)=0$ para todos $x\in G$ .

Answer 2

Pista: Dos hechos relevantes para que los demuestres: $f(x^n) = n f(x)$ et $f(1) = 0$

Answer 3

$e$ siendo la identidad de $G$ tenemos

$f(e) = 0, \tag 1$

ya que los homomorfismos de grupo asignan identidades a identidades; si

$\exists x \in G, \; f(x) \ne 0, \tag 2$

entonces

$x \ne e \tag 3$

y

$\exists \Bbb Z \ni m \ge 2 , \; x^m = e; \tag 4$

por lo que tenemos

$0 \ne mf(x) = f(x^m) = f(e) = 0, \tag 5$

y esta contradicción implica que no hay $x$ como en (2); se deduce que

$f(x) = 0, \; \forall x \in G. \tag 6$