¿Cuál es la caracterización más sorprendente de la distribución gaussiana (normal)?

Question

Una distribución gaussiana estandarizada en $\mathbb{R}$ puede definirse dando explícitamente su densidad: $$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$$

o su función característica.

Como se recuerda en este es también la única distribución para la que la media y la varianza de la muestra son independientes.

¿Qué otra caracterización alternativa sorprendente de las medidas gaussianas conoces? Aceptaré la respuesta más sorprendente

Answer 1

En el contexto del suavizado de imágenes (por ejemplo espacio de escala ), la gaussiana es el único núcleo separable* rotacionalmente simétrico.

Es decir, si requerimos $$F[x,y]=f[x]f[y]$$ donde $[x,y]=r[\cos\theta,\sin\theta]$ entonces la simetría rotacional requiere \begin{align} F_\theta &= f'[x]f[y]x_\theta+f[x]f'[y]y_\theta \\ &= -f'[x]f[y]y+f[x]f'[y]x = 0 \\ &\implies \\ \frac{f'[x]}{xf[x]} &= \frac{f'[y]}{yf[y]} = \mathrm{const.} \end{align} lo que equivale a $\log\big[f[x]\big]'=cx$ .

Exigir que $f[x]$ sea un verdadero kernel entonces requiere que la constante sea negativa y el valor inicial positivo, dando lugar al núcleo gaussiano.

---

*En el contexto de las distribuciones de probabilidad, separable significa independiente, mientras que en el contexto del filtrado de imágenes permite reducir computacionalmente la convolución 2D a dos convoluciones 1D.

Answer 2

Su función característica tiene la misma forma que su pdf. No estoy seguro de que haya otra distribución que lo haga.

Answer 3

Recientemente Ejsmont [1] publicó un artículo con una nueva caracterización de la gaussiana:

Dejemos que $(X_1,\dots, X_m,Y) \textrm{ and } (X_{m+1},\dots,X_n,Z)$ sean vectores aleatorios independientes con todos los momentos, donde $X_i$ son no degenerados, y que la estadística $\sum_{i=1}^na_iX_i+Y+Z$ tienen una distribución que depende únicamente de $\sum_{i=1}^n a_i^2$ , donde $a_i\in \mathbb{R}$ et $1\leq m < n$ . Entonces $X_i $ son independientes y tienen la misma distribución normal con media cero y $cov(X_i,Y)=cov(X_i,Z)=0$ para $i\in\{1,\dots,n\}$ .

[1]. Ejsmont, Wiktor. "Una caracterización de la distribución normal por la independencia de un par de vectores aleatorios". Statistics & Probability Letters 114 (2016): 1-5.

Answer 4

La expectativa más menos la desviación estándar son los puntos de silla de la función.