Una distribución gaussiana estandarizada en $\mathbb{R}$ puede definirse dando explícitamente su densidad: $$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$$
o su función característica.
Como se recuerda en este es también la única distribución para la que la media y la varianza de la muestra son independientes.
¿Qué otra caracterización alternativa sorprendente de las medidas gaussianas conoces? Aceptaré la respuesta más sorprendente
Teorema [Herschel-Maxwell]: Dejemos que $Z \in \mathbb{R}^n$ sea un vector aleatorio para el que (i) las proyecciones en subespacios ortogonales son independientes y (ii) la distribución de $Z$ depende únicamente de la longitud $\|Z\|$ . Entonces $Z$ se distribuye normalmente.
Citado por George Cobb en Enseñanza de la estadística: Algunas tensiones importantes (Chilean J. Statistics Vol. 2, No. 1, April 2011) en p. 54.
Cobb utiliza esta caracterización como punto de partida para derivar la $\chi^2$ , $t$ et $F$ distribuciones, sin usar el Cálculo (o mucha teoría de la probabilidad).
No se trata de una caracterización sino de una conjetura, que data de 1917 y se debe a Cantelli:
Si $f$ es una función positiva sobre $\mathbb{R}$ et $X$ et $Y$ son $N(0,1)$ variables aleatorias independientes tales que $X+f(X)Y$ es normal, entonces $f$ es una constante en casi todas partes.
Mencionado por Gérard Letac aquí .
Supongamos que se estima un parámetro de localización utilizando datos i.i.d. $\{x_1,...,x_n\}$ . Si $\bar{x}$ es el estimador de máxima verosimilitud, entonces la distribución muestral es gaussiana. Según la teoría de Jaynes Teoría de la probabilidad: La lógica de la ciencia pp. 202-4, así fue como Gauss lo derivó originalmente.
Dejemos que $\eta$ et $\xi$ sean dos variables aleatorias independientes con una distribución simétrica común tal que
$$ P\left ( \left |\frac{\xi+\eta}{\sqrt{2}}\right | \geq t \right )\leq P(|\xi|\geq t).$$
Entonces estas variables aleatorias son gaussianas. (Obviamente, si el $\xi$ et $\eta$ son gaussianos centrados, es cierto).
Esta es la Teorema de Bobkov-Houdre
Una caracterización más particular de la distribución normal entre la clase de infinitamente divisible distribuciones se presenta en Steutel y Van Harn (2004) .
Una variable aleatoria no degenerada e infinitamente divisible $X$ tiene una distribución normal si y sólo si satisface $$-\limsup_{x\rightarrow\infty}\dfrac{\log{\mathbb P}(\vert X\vert>x)}{x\log(x)}=\infty.$$
Este resultado caracteriza la distribución normal en cuanto a su comportamiento en la cola.
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