¿Cuál es la caracterización más sorprendente de la distribución gaussiana (normal)?

Question

Una distribución gaussiana estandarizada en $\mathbb{R}$ puede definirse dando explícitamente su densidad: $$\frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$$

o su función característica.

Como se recuerda en este es también la única distribución para la que la media y la varianza de la muestra son independientes.

¿Qué otra caracterización alternativa sorprendente de las medidas gaussianas conoces? Aceptaré la respuesta más sorprendente

Answer 1

La que más me sorprende es la de la media y la varianza de la muestra, pero aquí hay otra caracterización (quizá) sorprendente: si $X$ et $Y$ son IID con varianza finita con $X+Y$ et $X-Y$ independiente, entonces $X$ et $Y$ son normales.

Intuitivamente, normalmente podemos identificar cuando las variables no son independientes con un gráfico de dispersión. Imaginemos un gráfico de dispersión de $(X,Y)$ pares que parecen independientes. Ahora gira 45 grados y mira de nuevo: si todavía parece independiente, entonces el $X$ et $Y$ las coordenadas individualmente deben ser normales (todo esto hablando de forma imprecisa, por supuesto).

Para ver por qué funciona la parte intuitiva, eche un vistazo a

$$\left[ \begin{array}{cc} \cos45^{\circ} & -\sin45^{\circ} \newline \sin45^{\circ} & \cos45^{\circ} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \newline y \end{array} \right]= \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \begin{array}{c} x-y \newline x+y \end{array} \right]$$

Answer 2

La distribución continua con varianza fija que maximiza entropía diferencial es la distribución gaussiana.

Answer 3

Hay un libro entero escrito sobre esto: "Characterizations of the normal probability law", A. M. Mathai & G. Perderzoli. Una breve reseña en JASA (diciembre de 1978) menciona lo siguiente:

Dejemos que $X_1, \ldots, X_n$ sean variables aleatorias independientes. Entonces $\sum_{i=1}^n{a_i x_i}$ et $\sum_{i=1}^n{b_i x_i}$ son independientes, donde $a_i b_i \ne 0$ si y sólo si $X_i$ [se distribuyen normalmente.

Answer 4

Lemma de Stein proporciona una caracterización muy útil. $Z$ es gaussiano estándar si $$E f’(Z) = E Z f(Z)$$ para todas las funciones absolutamente continuas $f$ con $E|f’(Z)| < \infty$ .

Answer 5

Las distribuciones gaussianas son las únicas suma-estable distribuciones con varianza finita.