Una distribución gaussiana estandarizada en $\mathbb{R}$ puede definirse dando explícitamente su densidad: $$ \frac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-x^2/2}$$
o su función característica.
Como se recuerda en este es también la única distribución para la que la media y la varianza de la muestra son independientes.
¿Qué otra caracterización alternativa sorprendente de las medidas gaussianas conoces? Aceptaré la respuesta más sorprendente
La que más me sorprende es la de la media y la varianza de la muestra, pero aquí hay otra caracterización (quizá) sorprendente: si $X$ et $Y$ son IID con varianza finita con $X+Y$ et $X-Y$ independiente, entonces $X$ et $Y$ son normales.
Intuitivamente, normalmente podemos identificar cuando las variables no son independientes con un gráfico de dispersión. Imaginemos un gráfico de dispersión de $(X,Y)$ pares que parecen independientes. Ahora gira 45 grados y mira de nuevo: si todavía parece independiente, entonces el $X$ et $Y$ las coordenadas individualmente deben ser normales (todo esto hablando de forma imprecisa, por supuesto).
Para ver por qué funciona la parte intuitiva, eche un vistazo a
$$ \left[ \begin{array}{cc} \cos45^{\circ} & -\sin45^{\circ} \newline \sin45^{\circ} & \cos45^{\circ} \end{array} \right] \left[ \begin{array}{c} x \newline y \end{array} \right]= \frac{1}{\sqrt{2}} \left[ \begin{array}{c} x-y \newline x+y \end{array} \right] $$
La distribución continua con varianza fija que maximiza entropía diferencial es la distribución gaussiana.
Hay un libro entero escrito sobre esto: "Characterizations of the normal probability law", A. M. Mathai & G. Perderzoli. Una breve reseña en JASA (diciembre de 1978) menciona lo siguiente:
Dejemos que $X_1, \ldots, X_n$ sean variables aleatorias independientes. Entonces $\sum_{i=1}^n{a_i x_i}$ et $\sum_{i=1}^n{b_i x_i}$ son independientes, donde $a_i b_i \ne 0$ si y sólo si $X_i$ [se distribuyen normalmente.
Lemma de Stein proporciona una caracterización muy útil. $Z$ es gaussiano estándar si $$E f’(Z) = E Z f(Z)$$ para todas las funciones absolutamente continuas $f$ con $E|f’(Z)| < \infty$ .
Las distribuciones gaussianas son las únicas suma-estable distribuciones con varianza finita.
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