¿Qué tan larga es la paja que podría usar Superman?

Question

Para aspirar agua a través de una pajita, se crea un vacío parcial en los pulmones. El agua sube por la pajita hasta que la presión en la pajita al nivel del agua es igual a la presión atmosférica. Esto corresponde a beber agua a través de una pajita de unos diez metros de largo como máximo.

Pegando varias pajitas, un amigo y yo bebimos a través de un $3.07m$ paja. Creo que hemos tenido alguna fuga que nos ha impedido subir más. Además, estábamos a punto de vaciar el vaso rojo en la pajita por completo.

Mi pregunta es sobre qué pasaría si Superman bebiera a través de una pajita creando un vacío total en la misma. El agua subiría hasta diez metros en estado estacionario, pero si creara el vacío de repente, ¿la inercia del agua la llevaría más arriba? ¿Cuál sería el movimiento del agua por la pajita? ¿Cuál es la mayor altura desde la que podría beber?

Ignora los efectos termodinámicos, como la evaporación, y asume que la paja está inmóvil en relación con el agua y que no hay fricción.

Answer 1

Este argumento no me convence del todo, pero no le encuentro ningún fallo.

Analicemos un experimento similar, que creo que es equivalente. Supongamos que inicialmente, el agua ya está en el nivel estable $H=\frac{P_{atm}}{\rho g}$ . El vacío ya está presente.

Ahora, por algún medio sin importancia, bajamos el agua a $h=0$ y luego dejar que suba libremente.

¿Cuánta energía estamos almacenando en el sistema al bajar el agua? Podemos averiguarlo calculando el trabajo realizado. El trabajo se realiza en contra de la presión y a favor de la gravedad.

$$W= sP_{atm}H + \int^0_H{m(h)g\ \mathrm{d}h}$$

Sustituyendo $H=\frac{P_{atm}}{\rho g}$ , $m(h)=\rho s h$

$$W= \frac{sP_{atm}^2}{\rho g} + s\rho g\int^0_H{h\ \mathrm{d}h}$$

$$W= \frac{sP_{atm}^2}{\rho g} - \frac{1}{2}s\rho gH^2$$

$$W= \frac{sP_{atm}^2}{2\rho g}$$

Ahora, cuando el agua se libera y se deja subir, toda esta energía se utilizará para hacer subir el agua. Se supone que no se desperdicia energía en la fricción.

En el punto más alto, toda la energía se convertirá en energía potencial gravitatoria. Esto se puede expresar mediante la siguiente fórmula:

$$U(h)=\frac{1}{2}s\rho gh^2$$

Por lo tanto, en el punto superior, $W=U(h)$

$$\frac{sP_{atm}^2}{2\rho g} = \frac{1}{2}s\rho gh^2$$

Resolver para $h$ :

$$h^2=\frac{P_{atm}^2}{g^2\rho^2}$$

$$h = \frac{P_{atm}}{g\rho} = H$$

Por lo tanto, el agua subirá hasta $H$ que alcanzará con velocidad cero.

Answer 2

No puedo comentar todavía, así que lo pondré como respuesta :-( Me gusta el planteamiento energético, pero ¿por qué no utilizar el principio de Arquímedes? Primero, sustituir la atmósfera de aire por diez metros más de agua alrededor de la pajita, de manera que ahora las condiciones iniciales son una pajita en vacío introducida una longitud h en un fluido. La energía para producir dicho vacío en el fluido la puedes ver por Arquímedes; y es h/2 veces g la masa del fluido extraído. Dejemos que se mueva, y puede subir hasta llenar una columna de longitud h por encima del nivel, porque la energía (ahora gravitatoria) de esta columna es, de nuevo, h/2 veces su masa por g.

Answer 3

Superman va a manipular la presión del aire en la paja. Para conseguir que el agua suba, debe proporcionar una reducción de la presión. Está claro que si esta reducción se proporciona a un ritmo muy lento, entonces él no será capaz de superar significativamente los 10 metros más o menos (según lo limitado por la presión atmosférica).

Por otro lado, si reduce la presión rápidamente, es al menos posible que el agua alcance una mayor altura. ¿Qué altura puede alcanzar el agua en este supuesto? La idea es utilizar el impulso del agua para que llegue más alto, por lo que la cifra de mérito será la velocidad máxima del agua a nivel de la superficie.

La reducción de la presión no puede hacer que el agua se mueva más rápido que el aire y la velocidad del aire está limitada por la velocidad de las moléculas de gas en el aire o unos 330 metros por segundo. Al equiparar la energía cinética $0.5 m v^2$ con energía potencial $mgh$ El agua con esa velocidad inicial puede alcanzar una altura de $h = 0.5 v^2/g = $ 2775 metros. La altura es lo suficientemente pequeña como para justificar la suposición de que $g$ es una constante. Tal vez deberías añadir 10 metros para el efecto de vacío habitual.

Hmmm. Ah, qué diablos, debería hacer el cálculo de fracturación para saber hasta dónde llega el agua en una pajita ancha cuando se le aplica el vacío.

Answer 4

Si lo vemos desde un problema puramente relacionado con la succión, la altura máxima a la que el superhombre podría elevar el agua en una pajita sería igual a la presión que se ejerce sobre el agua que está bebiendo. Si bebe desde el nivel del mar, podría elevar o succionar el agua unos 10 m. Teóricamente podría crear un vacío completo en su boca, entonces la cantidad de elevación es simplemente las presiones diferenciales. Nos encontramos con este límite todo el tiempo con las bombas de vacío. Sin embargo, si es capaz de succionar muy rápidamente, la velocidad del aire podría permitir el arrastre de agua más allá de la elevación máxima. No podría aspirar el agua como una gran bala, sino en forma de gotas arrastradas por la paja debido a la velocidad del viento dentro de la paja. En un caso más práctico, se ha demostrado que las bombas de vacío pueden elevar el agua a más de un par de cientos de pies por encima del nivel estático del agua utilizando este método. Pero la tasa de recarga dentro del pozo debe ser lo suficientemente baja para asegurar que el agua no "obstruya" su tubo de succión. Dicho de otro modo, es necesario que haya mucho más aire que agua subiendo por la paja.

Answer 5

A menos que me esté perdiendo algo, esto es simplemente la altura de un barómetro basado en el agua, ya que es realmente la presión atmosférica la que está empujando el agua hacia arriba de la paja. a STP, la respuesta es 33 1/2 pies. Si estuviera aspirando Hg por la pajita (¡no se recomienda para los no superhéroes!), la altura sería de ~30 pulgadas.