¿Es la declaración $A \in A$ ¿Verdadero o falso?

Question

En los deberes de matemáticas discretas de la semana pasada, una pregunta nos pedía que evaluáramos la veracidad de varios enunciados de notación de conjuntos, donde $A$ se definió como un conjunto arbitrario. Uno de estos enunciados era

$$A \in A$$

Seleccioné "verdadero" como respuesta. Las razones son las siguientes

1. La definición de $A \in B$ significa que para todos los elementos de $A$ debe haber una y sólo una coincidencia correspondiente en $B$ . Sea $A= \{1, 2, 4, 7\}$ y $B= \{1, 2, 4, 7\}$ . Por lo tanto, $A \in B$ idéntica a $A \in A$ que es la abreviatura de $\{1, 2, 4, 7\} \in \{1, 2, 4, 7\}$

2. Las operaciones con conjuntos en la mayoría de los lenguajes de programación son implementaciones de la teoría de conjuntos en código informático y devuelven verdadero si el código evalúa la igualdad de dos conjuntos que hacen referencia a la misma ubicación. En Java, si inicializamos un conjunto A y B con los valores de

   • A.equals(B) y B.equals(A) devolverán ambos verdaderos
   • A.retainAll(B) y B.retainAll(A) devolverán false, ya que la operación de llamada no modificará el conjunto.
   • A.removeAll(B) y B.removeAll(A) si se llama singularmente, devolverá true y dará como resultado un conjunto vacío

En un correo electrónico, el profesor citó Axioma de regularidad de Wikipedia como fuente de debate sobre la cuestión, y sostiene que $A\notin A$ debido a la definición de disjuntos.

Sin embargo, Los nuevos fundamentos de Van Ormen Quine La teoría de conjuntos permite la existencia de un conjunto universal $V$ y que $V\in V$ . La mayor parte de esas matemáticas escapan a mi comprensión, pero el artículo citado parece ajustarse a mis argumentos.

¿Cuál es la respuesta correcta?

Answer 1

Parece que has confundido $A\in B$ ( $A$ es un elemento de $B$ ) y $A\subset B$ ( $A$ es un subconjunto de $B$ es decir, cada elemento de $A$ es un elemento de $B$ ).

Edición: Ejemplo: $1\in \{1,2\}$ y $\{1\}\subset \{1,2\}$ .

Todo conjunto es un subconjunto de sí mismo (esto es lo que argumentas en 1), pero un conjunto nunca puede ser un elemento de sí mismo (al menos en la teoría de conjuntos estándar, es decir, la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel, donde el axioma de regularidad lo prohíbe).

Answer 2

Primero pongamos las cosas en orden.

El $\in$ es para afiliación mientras que $\subseteq$ es por ser un subconjunto. Por lo tanto, $x\in A$ si $x$ es un elemento de $A$ ; mientras que $B\subseteq A$ si cada elemento de $B$ también es un elemento de $A$ .

Leyendo de nuevo tu pregunta se ve la discrepancia entre la notación matemática y las palabras que la explican. Mientras que $A\in A$ no es necesariamente cierto, $A\subseteq A$ siempre es cierto.

Volviendo a la cuestión de si es cierto o falso que $A$ es un elemento de sí mismo es una cuestión mucho más complicada porque no se puede discutir en un entorno teórico de conjuntos ingenuo. En la axiomatización habitual de la teoría de conjuntos, es decir, Zermelo-Fraenkel con Elección (ZFC), se incluye el axioma de regularidad (conocido también como axioma de fundamento) que garantiza que $A\notin A$ para cualquier conjunto.

Sin embargo, también hay méritos para utilizar la teoría de conjuntos no bien fundada, en dicha teoría de conjuntos tenemos que para algunos conjuntos es posible tener $A\in A$ pero, por ejemplo $\varnothing\notin\varnothing$ incluso en estos entornos. Se han utilizado conjuntos de la forma $x=\{x\}$ en el pasado, sin embargo estos usos suelen acabar teniendo equivalentes razonables en las teorías de conjuntos bien fundamentadas (es decir, teorías de conjuntos que incluyen el axioma de regularidad).

Así que para la mayoría de los matemáticos la pregunta es si es cierto que $A\in A$ es siempre falso, porque trabajando en ZFC (o en una extensión de la misma) nunca tenemos este tipo de situación.

Algunas personas, sin embargo, trabajan en teorías como la de los Nuevos Fundamentos que usted ha mencionado, y en tales teorías es cierto para algunos conjuntos que son miembros de ellos mismos, por ejemplo, el conjunto universal $V$ tiene la propiedad de que $V\in V$ . Sin embargo, sigue siendo cierto que $\varnothing\notin\varnothing$ , por lo que no podemos probar que todo conjunto es un miembro de sí mismo. No podemos demostrar que todo conjunto no vacío es miembro de sí mismo ya que para $A=\{\varnothing\}$ tenemos que $A$ no está vacío (tiene un elemento) pero $A\notin A$ ya que el único elemento de $A$ está vacío y $A$ no está vacío.

Answer 3

Falsos. Todo lo que has escrito en 1. es sencillamente erróneo, y deberías desaprenderlo. A es un conjunto, un solo elemento. los elementos de B son 1,2,4 y 7, el conjunto {1,2,4,7} no es igual a ningún elemento de B, ni siquiera es un número.

Answer 4

Si bien su número 1 ha sido completamente desacreditado, vale la pena señalar que el número 2 también es fundamentalmente defectuoso. Mientras que algunos otros lenguajes pueden permitir que un conjunto esté contenido en sí mismo (en cuyo caso sí no modelan fielmente la teoría de conjuntos), el Documentación sobre Java dice explícitamente (subrayado añadido):

Nota: Hay que tener mucho cuidado si se utilizan objetos mutables como elementos del conjunto. El comportamiento de un conjunto no se especifica si el valor de un objeto se cambia de manera que afecte a equals mientras el objeto es un elemento del conjunto. Un caso especial de esta prohibición es que no está permitido que un conjunto se contenga a sí mismo como elemento .

En general, las elecciones realizadas por los informáticos (que deben hacer frente a consideraciones pragmáticas adicionales) son un extremadamente un proxy poco fiable para lo que es una cuestión puramente matemática. Para la gran mayoría de los lenguajes de programación, $\pi$ es racional.

Answer 5

El axioma del fundamento excluye $A\in A$ . La referencia que citas es una definición no estándar.