Álgebra lineal: $2\times 2$ la matriz produce sólo 1 valor propio

Question

Al tratar de encontrar los valores y vectores propios de $A$ ( $2\times 2$ ), obtengo sólo 1 valor propio, ¿tal vez con una multiplicidad de 2?

Dejemos que $A=\begin{pmatrix} 5 & 1 \\ -4 & 1\end{pmatrix}$

Empiezo por tomar el $\det(A- \lambda I)$

Así, $\det(A-\lambda I)=\begin{vmatrix} 5-\lambda & 1 \\ -4 & 1-\lambda\end{vmatrix}$ , factorizando obtengo $(\lambda-3)^2$ avec $\lambda=3$ como mi único valor propio.

¿En qué me equivoqué y qué debo hacer a partir de ahora? ¿Cómo puede ayudarme la multiplicidad de mi valor propio?

Answer 1

Se puede encontrar un vector propio asociado a $\lambda =3$ por ejemplo

$v=\binom 1{-2}$

y eso es todo.

Sólo hay un vector propio y está bien.

Dicen que la multiplicidad algebraica de $\lambda =3$ es $2$ pero la multiplicidad geométrica es $1$

Answer 2

¡Esto tiene sentido! A $2\times 2$ no tiene por qué tener 2 valores propios. Lo que importa es que la suma de las multiplicidades algebraicas sea 2, que lo es, por lo que parece que tu respuesta es absolutamente correcta.

Answer 3

Su trabajo es correcto, $\lambda = 3$ es el único valor propio con multiplicidad $2$ . Si esto le parece raro, considere el siguiente ejemplo:

$$\begin{pmatrix} \lambda & 0 \\ 0 & \lambda \end{pmatrix}.$$

Sólo tiene un valor propio, $\lambda$ con multiplicidad $2$ ; puedes leerlo a partir de las entradas diagonales.

En general, $n\times n$ matriz compleja tiene precisamente $n$ valores propios, pero contados con multiplicidades. No se requiere que sean distintos. Es como cualquier polinomio de grado $n$ tiene precisamente $n$ raíces complejas, pero no tienen por qué ser distintas.

Nótese, sin embargo, que es posible que la matriz real no tenga valores propios reales. Al igual que hay polinomios sin raíces reales.