¿Puede un dominio integral noetheriano no PID tener todas las localizaciones PID?

Question

Si un dominio integral noetheriano R tiene todas sus localizaciones por ideales maximales siendo PIDs, ¿implica esto que R mismo es un PID?

Gracias por su ayuda.

Answer 1

Versión corta: No, un ejemplo sería el anillo $R=\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$ . En la versión larga, explicaré por qué se ha elegido este ejemplo y por qué no satisface sus criterios.

Motivación: La idea es dar primero un nombre a un dominio noetheriano $A$ de dimensión Krull uno (si la localización en cada máximo es un PID, entonces la dimensión es necesariamente uno), tal que la localización en cada prime (no sólo el máximo) ideal es un PID. Esto, como veremos, es una Dominio Dedekind . También se sabe que si un dominio Dedekind es un UFD, este es un PID. Así que he traducido (una versión más fuerte de) su pregunta en:

Q: ¿Existe un dominio Dedekind que no sea un UFD? A: ¡Sí!

Versión larga: Si consulta Atiyah & MacDonald, capítulo 9 (Anillos de valoración), verá las siguientes afirmaciones:

Proposición 9.2: Dejemos que $A$ sea un dominio local noetheriano de dimensión [Krull] uno, $\mathfrak{m}$ su ideal máximo, $k=A/\mathfrak{m}$ su campo de residuos. Entonces las siguientes son equivalentes:

1. $A$ es un anillo de valoración discreto;
2. $A$ es integralmente cerrado;
3. $\mathfrak{m}$ es un ideal principal;
4. $\dim \mathfrak{m}/\mathfrak{m^2}=1$ ;
5. Todo ideal distinto de cero es una potencia de $\mathfrak{m}$ .
6. Existe $x\in A$ tal que todo ideal no nulo es de la forma $(x^k)$ , $k\geq 0$ .

En particular, si un dominio local noetheriano de dimensión uno $A$ es un PID entonces $A$ es un DVR (por $3\to 1$ ) y a la inversa, si $A$ es un DVR entonces $A$ es un PID (por $1\to 6$ ).

Ahora definimos un dominio Dedekind:

Proposición 9.3: Dejemos que $A$ sea un dominio noetheriano de dimensión [Krull] uno. Entonces las siguientes son equivalentes:

1. $A$ es integralmente cerrado;
2. Todo ideal primario en $A$ es una potencia primera;
3. Cada anillo local $A_\mathfrak{p}$ ( $\mathfrak{p}\neq 0$ ) es un DVR;

Un anillo que satisface cualquiera (o todas) de estas condiciones se llama Dominio Dedekind .

Un ejemplo muy famoso de dominios Dedekind es el siguiente grupo (para una prueba ver aquí, la proposición 13.5 )

Dejemos que $\mathbb{Q}\subset K$ sea una extensión de campo finito [Esto se llama campo numérico ], y que $R$ sea el cierre integral de $\mathbb{Z}$ en $K$ . Entonces $R$ es un dominio Dedekind.

Así es como se hace el ejemplo en la versión corta. Te dejo que muestres $\mathbb{Z}[\sqrt{5}i]$ no es un UFD.