Relación de equivalencia en funciones regulares

Question

En este problema, considere $K$ un campo algebraico cerrado y $X\subset\mathbb{A}^n_k$ una variedad irreducible. Dada una Zariski abierta $U\subset X$ decimos que una función $\phi:U\rightarrow K$ es regular si $\phi = f/g$ para algunos $f,g\in K[x_1,\ldots, x_n]$ (en este caso, $g$ nunca es cero en $U$ ).

Ahora, el problema: arreglar $p\in X$ Consideremos dos Zariski abiertos $U,V$ que contiene $p$ y dos funciones regulares $\phi:U\rightarrow K$ , $\psi:V\rightarrow K$ . Podemos definir una relación $(\phi, U)\sim (\psi,V)$ cuando hay un Zariski abierto $W\subset U\cap V$ tal que $\phi=\psi$ en $W$ . Quiero demostrar que esta relación es una relación de equivalencia.

No es difícil demostrar la reflexividad y la simetría, pero la transitividad es difícil. Supongamos que $(\phi, U)\sim (\psi,V)$ y $\varphi:T\rightarrow K$ tal que $(\psi, V)\sim (\varphi,T)$ . Sé que hay algún Zariski abierto $Z\subset V\cap T$ tal que $\psi = \varphi$ en $Z$ . También sé que $p$ está dentro $U,V,T$ pero esto no garantiza que $U$ y $T$ tienen una intersección no vacía. Incluso si la intersección es no vacía, no puedo ver por qué existiría un Zariski abierto dentro $U\cap T$ así que estoy atrapado aquí.

Si no es pedir demasiado, tengo otra pregunta. ¿Por qué no puedo tomar $W=U\cap V$ al definir esta relación?

Gracias.

Answer 1

Para empezar, creo que se quiere que la definición sea un poco más local: se quiere $\phi$ para ser descrito en una vecindad de cada punto $P \in U$ por un cociente de polinomios, pero puede no ser capaz de describir $\phi$ en todos los $U$ mediante una fórmula única como ésta. El ejemplo clásico es mirar el cono $xy - zw$ en $\mathbb{A}^4$ sobre la superficie cuádrica lisa. Las expresiones $z/y$ y $x/w$ definen funciones en las que $y$ y $w$ no se desvanecen, respectivamente; y coinciden en el solapamiento. Intenta escribir una única expresión para esta función.

De todos modos, lo que te salva aquí es que estás trabajando en un espacio topológico irreducible, y en tal espacio dos subconjuntos abiertos no vacíos tienen que intersecarse. Otros hechos útiles: cualquier subconjunto abierto no vacío de un espacio irreducible es denso y también irreducible.

Tu sospecha al final es correcta: en contextos más generales realmente necesitas esto $W$ pero aquí $W = U \cap V$ es suficiente. Esto se debe a que cualquier función regular sobre una variedad es continua y, en particular, su conjunto cero es cerrado. Aquí el conjunto cero de la función $\phi - \psi$ en $U \cap V$ es un conjunto (relativamente) cerrado que contiene el subconjunto abierto denso $W$ .