¿Existe una función suave que pueda mapear un conjunto de $0$ a un conjunto de medidas positivas?

Question

¿Existe una función suave que pueda mapear un conjunto de $0$ a un conjunto de medidas positivas?

La vitrina del diablo+ $x$ es una función que mapea el conjunto de Cantor a un conjunto de medida positiva, pero no es suave (ni siquiera diferenciable)

Estoy intentando demostrar el Teorema de Sard, y la inexistencia de dicha función podría facilitarme la vida en algunos casos especiales.

EDIT: Considera sólo la medida de Lebesgue tanto en el dominio como en el rango, que por ahora considera que es $\Bbb{R}$ .

Answer 1

Supongamos que $f\colon [0,1]\to\Bbb R$ es diferenciable y $E\subset [0,1]$ es un conjunto cero mientras que $\mu(f(E))=1$ . Entonces, para cualquier $\epsilon>0$ , $E$ puede ser cubierto por intervalos $A_i$ de la longitud total $\epsilon$ . Cada $A_i$ se asigna a algún intervalo $B_i$ y de $\sum|B_i|\ge1$ vemos que $\frac{|B_i|}{|A_i|}>\frac1\epsilon$ . Por el MVT, $|f'(x)|>\frac1\epsilon$ para algunos $x\in A_i$ . Así, $f'$ no está acotado en $[0,1]$ y no puede ser continua.