Grupos finitos con exactamente un subgrupo maximal

Question

Hace poco leí una prueba en la que el siguiente se utiliza la propiedad (y la izquierda como un ejercicio que no he podido demostrar hasta el momento). Aquí es exactamente cómo se dice.

Deje $G$ ser un grupo finito. Supongamos que tiene exactamente un subgrupo maximal. A continuación, $G$ es cíclico.

Ahora, ¿significa esto exactamente una clase conjugacy de máxima subgrupos? Si lo que realmente significa exactamente un subgrupo maximal, entonces, ¿qué podemos decir acerca de un determinado grupo que posee exactamente una clase de (al menos dos) máxima subgrupos que son todos conjugado a cada uno de los otros?

Answer 1

Definición: Una adecuada subgrupo $M$ de un grupo de $G$ es máxima iff siempre $M \leq H \leq G$, $H = M$ o $H = G$.

Definición alternativa: Un subgrupo $M$ de un grupo de $G$ es máxima iff $M \neq G$ y no hay ningún subgrupo $H$ $G$ tal que $M \subset H \subset G$.

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La proposición:

Deje $G$ ser un grupo finito. Supongamos que tiene exactamente un subgrupo maximal. A continuación, $G$ es cíclico.

Prueba:

Supongamos $M < G$ es la máxima subgrupo finito de grupo $G$. Tome $a \in G\setminus M$.

Si $H = \langle a\rangle < G$, entonces no es un subgrupo maximal $K$ tal que $H\subset K$. Claramente $K \neq M$, lo que conduce a una contradicción a la singularidad de la máxima subgrupo. Por lo $G = H$ debe ser cíclica. Además, $G$ debe ser un $p$-grupo, ya que de lo contrario, $G$ tendría más de un subgrupo maximal.

Answer 2

Si $G$ tiene sólo una clase conjugacy de máxima subgrupo, $M$, y no es en sí mismo un $p$-grupo, entonces para el primer $p$, $M$ contiene un Sylow $p$-subgrupo $P$$G$. Pero entonces por Lagrange, $|M|$ es de orden divisible por cada potencia principal dividiendo $|G|$, lo $|M|$ es un múltiplo de a $|G|$. Desde $|M| \leq |G|$, uno debe tener $|M| = |G|$$M = G$, una contradicción. Si $G$ $p$- grupo y una clase conjugacy de subgrupo maximal, luego cada subgrupo maximal es normal, y por lo $G$ debe tener exactamente un subgrupo maximal, y así es cíclico como antes.

En particular, cada finito grupo tiene al menos dos clases de máxima subgrupos. El no-grupo abelian de orden 6 tiene exactamente dos clases.

No es demasiado raro para un grupo finito de tener sólo una clase de máxima subgrupo que no es normal, y que es normal (por lo tanto, dos clases en total): cada finito de primitivos solucionable grupo como este. Dependiendo de su definición, que sólo podría ser por definición. Pero hay un par de definiciones que hacen de sonido emocionante.

Answer 3

El argumento utilizado para demostrar que un determinado grupo con un único subgrupo maximal es cíclico también puede ser usado para describir la estructura de la propiedad conmutativa local de los anillos. Tengo que incluir esto como una respuesta porque resalta un truco elemental en el álgebra.

Un anillo de $A$ a (conmutativa) anillo local si tiene un único ideal maximal $m$. Vamos $x\in A$, $x\not\in m$. Podemos afirmar que el $x$ es una unidad en $A$. Si no, el ideal de $(x)=\{xa|a\in A\}$ generado por $x$ es un buen ideal de $A$ y es, por tanto, en algunas de ideal maximal de a $A$. Sin embargo, $m$ es el único ideal maximal de a $A$ y esto demuestra que $x\in (x)\subseteq m$; una contradicción.

Ejercicio 1: Probar que si el conjunto de no-unidades en un anillo conmutativo $A$ es un ideal en el $A$, $A$ es un anillo local.

Ejercicio 2: Deje $x\in \mathbb{R}$ y considerar el conjunto de todos los pares ordenados $(f,U)$ donde $U$ es abierto y $f:U\to \mathbb{R}$ es continua. Podemos definir una relación de equivalencia en este conjunto estableciendo $(f,U)\equiv (g,V)$ si $f|W=g|W$ para algunos subconjunto $W\subseteq U\cap V$. Vamos a definir una estructura de anillo en el conjunto de todas las clases de equivalencia $A$ las reglas: $(f,U)+(g,V)=(f+g,U\cap V)$$(f,U)\times (g,V)=(f\times g,U\cap V)$. Demostrar que estas operaciones están bien definidos y probar que el anillo de $A$ en cuestión es un anillo local. (Sugerencia: El conjunto de todas las clases de equivalencia correspondiente a los representantes de la forma $(f,U)$ tal que $f(x)=0$ es el único ideal maximal de a $A$.)

Ejercicio 3: Es el resultado del ejercicio anterior true si la palabra "continuo" se borra todo? Es el resultado del ejercicio anterior true si la palabra "continuo" y "abrir" se eliminan todo? Es el resultado del ejercicio anterior true si la palabra "continuo" se sustituye por "diferenciable", "suave" o "analítica"?

Answer 4

El siguiente hecho implica esto (es cubierto ya en las respuestas anteriores, así que esto no es realmente una contribución original):

http://groupprops.subwiki.org/wiki/Union_of_all_conjugates_is_proper

Una aplicación de esto es que un finito no abelian grupo en el que cada subgrupo es abelian pueden ser simples:

http://groupprops.subwiki.org/wiki/Finite_non-abelian_and_every_proper_subgroup_is_abelian_implies_not_simple