¿Una buena expresión para el mínimo de tres variables?

Question

Como hemos visto aquí El mínimo de dos cantidades se puede escribir utilizando funciones elementales y la función de valor absoluto.

$\min(a,b)=\frac{a+b}{2} - \frac{|a-b|}{2}$

Incluso hay una bonita explicación intuitiva para acompañar esto: Si vamos al punto intermedio entre dos números, bajar la mitad de su diferencia nos llevará al más pequeño. Así que mi pregunta es: "¿Existe una fórmula similar para tres números?".

Obviamente $\min(a,\min(b,c))$ funcionará, pero esto nos da la expresión: $$\frac{a+\left(\frac{b+c}{2} - \frac{|b-c|}{2}\right)}{2} - \frac{\left|a-\left(\frac{b+c}{2} - \frac{|b-c|}{2}\right)\right|}{2},$$ que no es intuitivamente el mínimo de tres números, y ni siquiera es simétrico en las variables, aunque su salida lo sea. ¿Hay alguna forma más agradable de expresar esta función?

Answer 1

Probablemente no es lo que estabas pensando, pero si $a_1, ... a_n$ son no negativos, entonces

$$\min(a_1, ... a_n) = \lim_{k \to -\infty} \sqrt[k]{a_1^k + ... + a_n^k}$$

mientras que

$$\max(a_1, ... a_n) = \lim_{k \to \infty} \sqrt[k]{a_1^k + ... + a_n^k}.$$

Hay varias aplicaciones de estas identidades (al menos la segunda), por ejemplo, al análisis funcional. También están relacionadas con la forma en que la aritmética tropical surge como "límite" de la aritmética ordinaria.

Answer 2

He aquí una pista de por qué no existe tal fórmula simple:

En el caso de dos variables $a_i$ son los ceros del polinomio $$p(x):=(x-a_1)(x-a_2)=x^2 -(a_1+a_2)x + a_1 a_2\ .$$ Por tanto, por la fórmula de las ecuaciones cuadráticas tenemos $$\min(a_1, a_2)\ =\ {a_1+a_2-\sqrt{(a_1+a_2)^2 -4a_1 a_2}\over 2} ={a_1+a_2\over2}-{|a_1-a_2|\over 2}\ .$$

Utilizando la misma idea con tres variables $a_i$ tendríamos que mirar el polinomio de tercer grado $$q(x):=(x-a_1)(x-a_2)(x-a_3)$$ que tiene tres raíces reales. Por lo tanto, estamos en el "casus irreducibilis" de la fórmula de Cardano, que sólo puede resolverse mediante números complejos. Aunque se escribiera todo, no se podría decidir "por inspección" cuál es la raíz más pequeña.

Answer 3

En primer lugar, defina $$ \Delta=|a-b|+|b-c|+|c-a|\newcommand{\Mu}{\mathrm{M}}\tag{1} $$ Es algo intuitivo que $$ \frac{\Delta}{2}=\max(a,b,c)-\min(a,b,c)\tag{2} $$ Por ejemplo, si $a\ge b\ge c$ entonces $|a-b|+|b-c|+|c-a|=2a-2c$ .

A continuación, defina $$ \Sigma=a\left(1-\frac{|b-c|}{\Delta}\right)+b\left(1-\frac{|c-a|}{\Delta}\right)+c\left(1-\frac{|a-b|}{\Delta}\right)\tag{3} $$ De nuevo, si $a\ge b\ge c$ entonces $$ \begin{align} \Sigma &=a\left(\frac{2a-b-c}{2(a-c)}\right)+b\left(\frac{a-c}{2(a-c)}\right)+c\left(\frac{a+b-2c}{2(a-c)}\right)\\ &=a+c \end{align} $$ Así, considerando la simetría de $(3)$ es evidente que $$ \Sigma=\max(a,b,c)+\min(a,b,c)\tag{4} $$ Combinando $(2)$ y $(4)$ rinde $$ \max(a,b,c)=\frac{\Sigma}{2}+\frac{\Delta}{4}\tag{5} $$ y $$ \min(a,b,c)=\frac{\Sigma}{2}-\frac{\Delta}{4}\tag{6} $$ Al menos $(5)$ y $(6)$ son simétricos en $a$ , $b$ y $c$ desde $(1)$ y $(3)$ son. Eso es, $$ \begin{align} \max(a,b,c) &=\frac{a}{2}\left(\frac{|c-a|+|a-b|}{|a-b|+|b-c|+|c-a|}\right)\\ &+\frac{b}{2}\left(\frac{|a-b|+|b-c|}{|a-b|+|b-c|+|c-a|}\right)\\ &+\frac{c}{2}\left(\frac{|b-c|+|c-a|}{|a-b|+|b-c|+|c-a|}\right)\\ &+\frac{|a-b|+|b-c|+|c-a|}{4}\tag{7} \end{align} $$ y $$ \begin{align} \min(a,b,c) &=\frac{a}{2}\left(\frac{|c-a|+|a-b|}{|a-b|+|b-c|+|c-a|}\right)\\ &+\frac{b}{2}\left(\frac{|a-b|+|b-c|}{|a-b|+|b-c|+|c-a|}\right)\\ &+\frac{c}{2}\left(\frac{|b-c|+|c-a|}{|a-b|+|b-c|+|c-a|}\right)\\ &-\frac{|a-b|+|b-c|+|c-a|}{4}\tag{8} \end{align} $$

Answer 4

Si quieres una expresión simétrica, puedes tomar $\frac13 (\min(a,\min(b,c))+\min(b,\min(a,c))+\min(c,\min(a,b)))$ . Pero si lo reescribes usando ese truco del valor absoluto, sigo pensando que no da algo que sea "intuitivamente el mínimo", me temo...

Answer 5

Basado en la obra de Christian Blatter respuesta y el solución trigonométrica de la ecuación cúbica, podemos derivar la siguiente solución inusual.

Dejemos que $a$ , $b$ y $c$ sean números reales. Entonces son las raíces de la ecuación

$$(x-a)(x-b)(x-c)=0$$

que también puede escribirse como

$$x^3-(a+b+c)x^2+(ab+bc+ca)x-abc=0.$$

La fórmula trigonométrica da las soluciones de una ecuación cúbica en términos de sus coeficientes. Si sustituimos los coeficientes anteriores y simplificamos obtenemos una expresión para las tres raíces, pero ahora su orden de tamaño está claro. Sea $M$ sea la media de $a$ , $b$ y $c$ y que $P$ y $Q$ sean las medias cuadrática y geométrica de las cantidades $a+b-2c$ , $a-2b+c$ y $-2a+b+c$ . Es decir:

$$M=\frac{a+b+c}3,$$ $$P=\sqrt{\frac{(a+b-2c)^2+(a-2b+c)^2+(-2a+b+c)^2}3},$$ $$Q=\sqrt[3]{(a+b-2c)(a-2b+c)(-2a+b+c)}.$$

Entonces tenemos

$$\max(a,b,c)=\frac{\sqrt 2}3P\cos\left(\frac 13\arccos\left(\sqrt 2\left(\frac QP\right)^3\right)\right)+M,$$

$$\mathrm{median}(a,b,c)=\frac{\sqrt 2}3P\cos\left(\frac 13\arccos\left(\sqrt 2\left(\frac QP\right)^3\right)+\frac{2\pi}3\right)+M,$$

$$\min(a,b,c)=\frac{\sqrt 2}3P\cos\left(\frac 13\arccos\left(\sqrt 2\left(\frac QP\right)^3\right)+\frac{4\pi}3\right)+M.$$