Bijección entre tetraedros de lado $n$ y tres objetos de una lista de longitud $n + 1$ .

Question

Jeremy Kun da una biyección canónica entre un triángulo de lado $n$ y las formas de elegir $2$ de una lista de $n + 1$ objetos:

¿Existe una biyección igualmente agradable entre un tetraedro de lado $n$ y elegir $3$ de una lista de $n + 2$ , ambos de los cuales son el $n$ th número tetraédrico $\binom{n + 2}{3}$ .

Además, ¿hay biyecciones a la $k$ -simplemente y formas de elegir $k$ de una lista de $n + k - 1$ ?

Answer 1

Una forma de interpretar la biyección en esta imagen es decir que la celda naranja está especificada por la diagonal de pendiente positiva y la diagonal de pendiente negativa del triángulo en el que se encuentra.

Pero para generalizar a dimensiones superiores, es útil un sistema de coordenadas diferente. En esta imagen, podemos localizar la celda naranja diciendo "Es $2$ pasos desde el fondo, $2$ pasos del lado izquierdo del triángulo, y $1$ paso del lado derecho".

En general, se pueden dar coordenadas a cualquier celda del triángulo diciendo "Es $x$ pasos desde el fondo, $y$ pasos del lado izquierdo del triángulo, y $z$ pasos del lado derecho" para algunos enteros $x, y, z \ge 0$ con $x+y+z = n-1$ . Hay $\binom{n+1}{2}$ maneras de elegir tales $x$ , $y$ y $z$ . (Esto ya no es tan obvio, pero se deduce de la conocida método de las estrellas y las barras .)

A $k$ -tiene un simplex de dimensiones $k+1$ caras, y podemos especificar de forma única cada celda del simplex diciendo "Es $x_0$ pasos de la $0^{\text{th}}$ cara, $x_1$ pasos de la $1^{\text{st}}$ cara, ..., $x_k$ pasos de la $k^{\text{th}}$ cara". Las coordenadas de cada celda son ahora enteras $x_0, x_1, \dots, x_k \ge 0$ con $x_0 + x_1 + \dots + x_k = n-1$ y hay $\binom{n+k-1}{k}$ formas de encontrar dicha partición (de nuevo, por estrellas y barras).

Este sistema de coordenadas, por cierto, no es más que la identificación del $k$ -simplex con el subconjunto $$\{(x_0, x_1, \dots, x_k) \in \mathbb R^{k+1} : x_0 + x_1 + \dots + x_k = n-1, x_0, x_1, \dots, x_k \ge 0\}$$ (una versión a escala de la norma $k$ -simplex) e identificando las celdas de su interior con los puntos de la red contenidos en el simplex.