Diferenciar las álgebras de grupo

Question

Es un gran, famoso y difícil problema en las álgebras de operadores determinar si las álgebras de von Neumann $L(F_2)$ y $L(F_3)$ son isomorfas, o no. Aquí $F_n$ es el grupo libre sobre n generadores y $L(F_n)$ es el cierre operatorio-topológico débil del álgebra de grupo $\mathbb C[F_n]$ actuando naturalmente en el espacio de Hilbert $\ell^2(F_n)$ .

Supongo que se debe saber si las álgebras $\mathbb C[F_2]$ y $\mathbb C[F_3]$ son isomorfas o no. Pero preguntando casualmente a unos cuantos algebristas, nunca he tenido suerte en averiguarlo (¡admito que no me he esforzado mucho en esto!) Supongo que algunas teorías de (co)homología deben ayudar... ¿Y para sustituir $\mathbb C$ por un anillo más general?

Answer 1

Pues sí. Imagina que tienes un álgebra $A$ en $\mathbb{C}$ y quieres saber si es $\mathbb{C}[F_2]$ o $\mathbb{C}[F_3]$ . Escoge una dimensión cualquiera $A$ -Módulo $M$ y calcular $\operatorname{Ext}^1_A(M,M)$ . Si $A=\mathbb{C}[F_2]$ , obtendrá un $2$ -espacio vectorial de dimensiones sobre $\mathbb{C}$ , mientras que si $A=\mathbb{C}[F_3]$ , obtendrá un $3$ -espacio vectorial de dimensiones.

Answer 2

Uno tiene $Hom({\mathbb C}[F_n],{\mathbb C}) = ({\mathbb C}^{\times})^n$ con la topología obvia. (Aquí, $Hom$ denota el espacio de $\mathbb C$ -homomorfismos lineales). Esto, por supuesto, utiliza un poco más que sólo la estructura del álgebra, pero cada ${\mathbb C}$ -El isomorfismo lineal preservaría la topología en el espacio de $\mathbb C$ -representaciones lineales. Dado que los espacios $({\mathbb C}^{\times})^n$ no son homeomórficos para diferentes $n$ la afirmación es la siguiente. Lo mismo ocurre con el grupo maximal $C^{\star}$ -de la álgebra de $F_n$ . Uno tiene $Hom(C^{\star}(F_n),{\mathbb C}) = (S^1)^n$ donde se considera sólo $\star$ -homorfismos.