Converge o diverge: $\sum_{n=1}^{\infty}\left [\arctan{\frac{(-1)^n}{n}}+{(-1)^n\over n^2}\right]$

Question

¿Cómo puedo demostrar que la siguiente serie converge o diverge?

$$\sum_{n=1}^{\infty}\left [\arctan{\frac{(-1)^n}{n}}+{(-1)^n\over n^2}\right]$$

$\sum_{n=1}^{\infty}\left [\arctan{\frac{(-1)^n}{n}}\right]+\sum_{n=1}^{\infty}\left[{(-1)^n\over n^2}\right]$ , para $\sum_{n=1}^{\infty}\left[{(-1)^n\over n^2}\right]$ Utilicé el criterio de Leibniz, demostrando que $1\over n^2$ es decreciente y su límite es cero, por lo que la serie converge. Para $\arctan...$ la primera serie se me ocurrió utilizar el mismo criterio de Leibniz, porque $1\over n$ es decreciente a cero, pero no sé, ¿es correcto decir que si ${(-1)^n \over n}$ disminuye entonces $\left [\arctan{\frac{(-1)^n}{n}}\right]$ ¿también disminuye? ¿Es correcto lo que he hecho? Gracias.

Answer 1

Para los pequeños $z$ , $\arctan z$ se comporta exactamente igual que $z$ : $$\arctan z = z+O(z^3) $$ por lo que $\sum_{n\geq 1}\arctan\frac{(-1)^n}{n}$ converge ya que $\sum_{n\geq 1}\frac{(-1)^n}{n}$ converge por la prueba de Leibniz. Por cierto, $$ \sum_{n=1}^{+\infty}\arctan\frac{(-1)^n}{n}=\operatorname{Arg}\frac{\Gamma\left(\frac{1+i}{2}\right)}{\Gamma\left(1+\frac{i}{2}\right)}=-0.506671\ldots$$

Answer 2

Una pista. Recordemos que, para $x$ cerca de $0$ , $$ \arctan x=x+\mathcal{O}\left(x^3\right) $$ entonces $$ \sum\arctan{\frac{(-1)^n}{n}}=\sum\frac{(-1)^n}{n}+\sum\mathcal{O}\left(\frac{1}{n^3}\right) $$ es convergente siendo la suma de dos series convergentes.