Pregunta sobre la demostración de una desigualdad de cálculo

Question

He estado leyendo un libro en el que he encontrado la siguiente desigualdad:

$|f(t)|\leq \frac{1}{2} \int_{- \infty}^{\infty}|f'(s)|ds$ para cualquier función suave $f$ con un soporte compacto en la línea real.

Puedo obtener la desigualdad sin el factor $\frac{1}{2}$ mediante el siguiente argumento:

Desde $f$ tiene soporte compacto, existe $t\geq a \in \mathbb{R}$ tal que $f(x)=0$ para todos $x\leq a$ . Entonces a partir del teorema fundamental del cálculo obtenemos:

$\int_{\infty}^{\infty}|f'(s)|ds \geq \int_{a}^{t}|f'(s)|ds \geq |\int_{a}^{t}f'(s)ds|=|f(t)-f(a)|=|f(t)|$

Pero no sé cómo se obtiene la desigualdad con el factor. El libro en el que encontré esto no menciona ni da referencias de cómo se logra esta desigualdad.

Answer 1

Digamos que el apoyo de $f$ está contenida en $[a,b]$ . Para cada $t\in (a,b)$ lo tienes: $$ f(t) = \int_a^t f'(x)\, dx, \qquad f(t) = \int_b^t f'(x)\, dx $$ por lo que $$ |f(t)| \leq \int_a^t |f'(x)|\, dx, \qquad |f(t)| \leq \int_t^b |f'(x)|\, dx. $$ Sumando las dos desigualdades: $$ 2 |f(t)| \leq \int_a^b |f'| = \int_{\mathbb{R}} |f'|. $$