¿Pueden estudiarse los espacios topológicos completamente como posets?

Question

[Prefacio: disculpen mi ingenuidad matemática...]
He aprendido (vía: https://ncatlab.org/nlab/show/specialization+topología ) que hay una manera de convertir cualquier espacio topológico $(X, \tau)$ en un conjunto preordenado (Proset).

Interpretado como un proset, el binario $\leq$ La relación binaria (o la falta de ella) entre todos los puntos de un espacio tiene mucho más sentido intuitivo que definir un espacio topológico como construido a partir de conjuntos abiertos (que son sólo subconjuntos que obedecen a algunos axiomas de aspecto arbitrario). La relación binaria de un conjunto prospectivo aclara inmediatamente la noción de adyacencia/aprendizaje/cercanía entre los puntos y la noción de conectividad, mientras que la noción de conjuntos abiertos parece seguir ciegamente las reglas.

[@HenningMakholm señaló que esto es incorrecto:]
Además, una vez que consideramos un espacio métrico, es fácilmente reconocible cómo un espacio topológico generaliza un espacio métrico. Si consideramos un espacio topológico como un subconjunto con sólo un binario $\leq$ relación entre puntos entonces no hay noción de distancia, sin embargo, si definimos una métrica sobre un espacio automáticamente se obtiene una $\leq$ relación entre puntos. Por ejemplo, para un espacio métrico $(M, d)$ (donde $M$ es un conjunto y $d$ la función métrica), entonces para cualquier $a, b \in M$ podemos elegir un punto arbitrario $c \in M$ para ser nuestro "origen" y luego $a \leq b$ si $d(a,c) \leq d(b,c)$ .

Así que mi pregunta es (asumiendo que no he hecho afirmaciones totalmente falaces hasta ahora), dado que las prosetas hacen que las nociones topológicas sean mucho más intuitivas y fáciles de razonar, ¿por qué se desarrolla la topología con la desconcertante (al menos al principio hasta que se adquiere una intuición) definición de conjuntos abiertos en lugar de prosetas?

Answer 1

Ver un espacio como un orden parcial de los puntos sólo puede hacerse
para espacios de bajo nivel no Hausdorf. Por otro lado, cualquier topología
puede verse como un entramado completo de conjuntos abiertos con el orden de los subconjuntos.
Para una colección C de conjuntos abiertos, sup C es la unión de los conjuntos de C
y inf C es el interior de la intersección de los conjuntos en C.

Answer 2

Hay un área intrigante que se relaciona con su pregunta, a saber, la de los espacios finitos de Alexandroff y su conexión con los posets. Las fuentes más accesibles para esto son Jonathan Barmak's Algebraic topology of finite topological spaces and applications, SLN volume 2032,(2011),

y J. P. May, 2003, Finite spaces and simplicial complexes, URL www. math.uchicago.edu/~may/MISCMaster.html, apuntes para REU.

Otra área que merece la pena seguir es la teoría de los locales y las álgebras de Heyting, que aparecen en la teoría de los toos, pero también en muchas de las interacciones de la topología con la informática teórica. Mira el pequeño libro de Steve Vicker: Topology via logic. Volumen 5 de Cambridge Tracts in Theoretical Computer Science. Cambridge University Press, Cambridge (1989).