En la mayoría de los casos, no es así. La gran mayoría de las aplicaciones de continuidad uniforme que he visto utilizan el hecho de que cada La función continua en un espacio métrico compacto es uniformemente continua. Es decir, rara vez nos importa el hecho de que $2x$ es uniformemente continua y $x^2$ no lo es, porque normalmente los únicos escenarios en los que utilizaremos la continuidad uniforme son cuando hemos restringido nuestra atención a un subconjunto compacto del dominio. Estoy seguro de que algunos vendrán a dar contraejemplos a esto, pero es muy fácil ser matemático y no pensar ni una sola vez en la noción de continuidad uniforme para funciones sobre un espacio no compacto.
El otro uso notable de la continuidad uniforme que conozco es el siguiente hecho: cualquier mapa uniformemente continuo $f:X\to Y$ entre espacios métricos se extiende a un mapa continuo $\bar{f}:\bar{X}\to\bar{Y}$ entre sus terminaciones. Este hecho suele surgir especialmente en el análisis funcional, donde normalmente $X$ y $Y$ son espacios vectoriales normados y $f$ es lineal (en realidad, en este caso, la linealidad significa que la continuidad implica automáticamente una continuidad uniforme, por lo que, al igual que en el párrafo anterior, no nos importa la continuidad uniforme en sí misma). También es ocasionalmente útil para mostrar que, digamos, un mapa $\mathbb{Q}\to\mathbb{R}$ se extiende continuamente a un mapa $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ . Pero para funciones como las funciones $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ que preguntas, esto es por supuesto inútil, ya que $\mathbb{R}$ ya está completo.
