¿Se puede acotar siempre la derivada de una norma de Sobolev por una norma de Sobolev superior en $\mathbb R$ y $\mathbb R^n$ ?

Question

Antecedentes: Mientras leía un artículo escrito por un matemático, me di cuenta de que con frecuencia "limitaban la derivada de una función" mediante una norma de Sobolev de una derivada superior. Esto se hacía cuando se trabajaba con un subconjunto de $\mathbb R$ . ¿Se desprende esto esencialmente de la definición de las normas de Sobolev unidimensionales? ¿Se mantiene un resultado similar en $\mathbb R^n$ ?

Reclamación: Dado un número entero positivo cualquiera $s$ y $u\in H^s(\mathbb R)$ tenemos

$$ \|\partial_x u\|_{H^s(\mathbb R)} \le \|u\|_{H^{s+1}(\mathbb R)}. $$ Prueba: Por el definición de la norma de Sobolev unidimensional, $$ \|u\|_{H^s(\mathbb R)}^2 = \sum_{j=0}^s \|\partial_x^j u\|_{L^2(\mathbb R)}^2. $$ Al establecer $\ell = j+1$ descubrimos \begin{align*} \|\partial_x u\|_{H^s(\mathbb R)}^2 &= \sum_{j=0}^s \|\partial_x^{j+1} u\|_{L^2(\mathbb R)}^2 \\&= \sum_{\ell=1}^{s+1}\|\partial_x^{\ell} u\|_{L^2(\mathbb R)}^2 \\&\le \sum_{j=0}^{s+1} \|\partial_x^{j} u\|_{L^2(\mathbb R)}^2 \\&= \| u\|_{H^{s+1}(\mathbb R)}^2. \end{align*}

Yo "asumiría" que algo así sería cierto para subconjuntos de $\mathbb R^n$ .

Reclamación 2: Dado un número entero positivo cualquiera $s$ , multiíndice $\beta$ donde $|\beta|\leq s$ y $u\in H^s(\mathbb R^n)$ tenemos $$ \|D^{\beta} u\|_{H^s(\mathbb R^n)} \le \|u\|_{H^{s+?}(\mathbb R^n)}. $$

Prueba 2: Para cada índice múltiple $\alpha$ donde $|\alpha|\leq s$ tenemos por la definición de las normas multidimensionales de Sobolev, $$ \| u \|_{H^s(\mathbb R^n)}^2 = \sum_{|\alpha | \leq s} \left \| D^{\alpha}u \right \|_{L^2(\mathbb R^n)}^2 $$ Al establecer $\gamma = \alpha+\beta$ descubrimos \begin{align*} \|D^{\beta} u\|_{H^s(\mathbb R^n)}^2 &= \sum_{|\alpha | \leq s} \left \| D^{\alpha}D^{\beta} u \right \|_{L^2(\mathbb R^n)}^2 \\&= \sum_{|\gamma -\beta | \leq s} \left \| D^{\gamma} u \right \|_{L^2(\mathbb R^n)}^2 \\&\leq \sum_{|\gamma| \leq s} \left \| D^{\gamma} u \right \|_{L^2(\mathbb R^n)}^2 \\&= \|u\|_{H^{s+\beta}(\mathbb R^n)}. \end{align*}

No creo que lo que he escrito en la reclamación 2 sea correcto. Para mí, ambos resultados parecen variaciones de la Desigualdad de Poincaré . ¿Existe algún teorema de la teoría de los espacios de Sobolev que dé estos resultados?

Answer 1

Copio lo que escribiste para numerar las líneas- \begin{align*} \|D^{\beta} u\|_{H^s(\mathbb R^n)}^2 &= \sum_{|\alpha | \leq s} \left \| D^{\alpha}D^{\beta} u \right \|_{L^2(\mathbb R^n)}^2 \tag1\\&= \sum_{|\gamma -\beta | \leq s} \left \| D^{\gamma} u \right \|_{L^2(\mathbb R^n)}^2\tag2 \\&\leq \tag3 \sum_{|\gamma| \leq s} \left \| D^{\gamma} u \right \|_{L^2(\mathbb R^n)}^2 \\&= \|u\|_{H^{s+\beta}(\mathbb R^n)}. \tag4 \end{align*}

No me gusta cómo está escrito (2), porque el hecho de que $\gamma-\beta\ge 0$ (con lo que me refiero a una desigualdad por componentes) está oculta en la definición de un multiíndice. (2) a (3) es errónea, considere el caso 1D con $\beta=100$ y $s=1$ . Entonces $|\gamma-100|\le 1$ y $|\gamma|\le 1$ describen conjuntos disjuntos de índices $\gamma$ . Además, como no se menciona $\beta$ en (3), no hay forma de conseguir que (3) sea igual a (4), que sí implica $\beta$ .

No me habría molestado en escribir una línea (2), y simplemente afirmaría \begin{align*} \|D^{\beta} u\|_{H^s(\mathbb R^n)}^2 &= \sum_{|\alpha | \leq s} \left \| D^{\alpha}D^{\beta} u \right \|_{L^2(\mathbb R^n)}^2 \\&\leq \sum_{|\gamma| \leq s+|\beta|} \left \| D^{\gamma} u \right \|_{L^2(\mathbb R^n)}^2 \\&= \|u\|^2_{H^{s+|\beta|}(\mathbb R^n)}. \end{align*}

donde la desigualdad se justifica ya que una derivada de la forma $$ D^\alpha D^\beta, |\alpha|\le s$$ es en particular, una derivada de orden a lo sumo $s+|\beta|$ (y no hay repeticiones).

PS como se menciona en los comentarios Poincaré es la desigualdad inversa, que implica el control de muchos términos por unos pocos términos de alto orden y es errónea sin condiciones adicionales (por ejemplo, media cero, desaparición en la frontera, etc.)

PPS si un periódico escribe $H^s$ entonces es muy probable que estén hablando de $s\in\mathbb R$ en lugar de simplemente $s\in\mathbb Z_{\ge0}$ . Aquí el espacio se define mediante la transformada de Fourier (y coincide con el caso de los enteros). La prueba es igualmente fácil, esta vez a partir de una desigualdad polinómica $|\xi^\beta|\le (1+|\xi|^2)^{|\beta|/2} $ .