Análisis Matemático: Teorema del valor medio

Question

Estoy intentando aprender cómo funciona el teorema del valor medio intentando responder a lo siguiente pero no lo entiendo en absoluto.

Considere la función $f(x)$ $=$ $\sqrt x$ para $x > 0$

i. Demostrar que $f'(x)$ es una función decreciente sobre $(0, \infty)$

ii. Aplicar la teoría del valor medio a $f$ en el intervalo $[100,102]$ para demostrar

$10 + \frac{1}{11} \leq \sqrt {102} \leq 10 + \frac{1}{10}$

Se agradecería cualquier ayuda.

Answer 1

Se nos da que $f(x) = \sqrt{x}$ .

Por lo tanto, las derivadas primera y segunda de $f$ son $f'(x) = \frac1{2\sqrt{x}}$ y $f''(x) = -\frac1{4x^{3/2}}$ . Tenga en cuenta que $f''(x) < 0$ para todos $x \in \left(0, \infty\right)$ . Si la primera derivada de una función es siempre negativa, entonces la función es decreciente.

En nuestro caso, $f''(x)$ es la primera derivada de $f'(x)$ y como $f''(x)<0, \forall x \in \left(0, \infty \right)$ , obtenemos que $f'(x)$ es una función decreciente.

Para la segunda parte, por el teorema del valor medio, tenemos que si una función $f(x)$ es continua en el intervalo cerrado $[a, b]$ , donde $a < b$ y diferenciable en el intervalo abierto $(a, b)$ entonces existe un punto $c \in (a, b)$ tal que $$f'(c) = \frac{f(b)-f(a)}{b-a}$$ es decir $f(b) = f(a) + (b-a) \times f'(c)$ . Para demostrar la segunda parte, elija $f(x) = \sqrt{x}$ , $a = 100$ y $b=102$ . Claramente $f$ satisface los supuestos del teorema del valor medio. Por lo tanto, $\exists c \in (a,b)$ tal que $\sqrt{b} = \sqrt{a} + (b-a) f'(c) = \sqrt{a} + (b-a) \frac1{2 \sqrt{c}}$ . Introduciendo los valores de $a$ y $b$ conseguimos que $$\sqrt{102} = \sqrt{100} + \frac{2}{2 \sqrt{c}} = 10 + \frac1{\sqrt{c}}$$ Desde $c \in (100,102)$ tenemos que $10 < \sqrt{c} <\sqrt{102} < \sqrt{121} = 11$ . Por lo tanto, $\frac1{11} < \frac1{\sqrt{c}} < \frac1{10}$ . Por lo tanto, $10 + \frac1{11} < 10 + \frac1{\sqrt{c}} < 10 + \frac1{10}$ es decir $10 + \frac1{11} < \sqrt{102} < 10 + \frac1{10}$ .

Answer 2

( Consejos )

i. Demostrar que $f'(x)$ es decreciente es lo mismo que demostrar que $f''(x) < 0$ . ¿Puedes hacerlo?

ii. ¿Puedes manipular esta desigualdad para convertirla en algo más reconocible? ¿Qué tal si restas $10$ de cada componente?