Covariación de X y XY

Question

Supongamos que una empresa de transporte opera $40$ tranvías y $80$ autobuses. Cada día, independientemente de los demás, cada tranvía se avería con probabilidad $0.01$ y cada bus se rompe con probabilidad $0.02$ (independientemente unos de otros y de los tranvías). Dejemos que $X$ es el número de tranvías que se averían durante un día, y $Y$ sea el número de autobuses averiados en el mismo día. Calcula la covarianza de $X$ y $X · Y$ .

Mi solución: $$X: n = 40, p = 0.01, M(X) = np = 0.4$$ $$Y: n = 80, p = 0.02, M(Y) = np = 1.6$$ $$M(XY) = M(X)M(Y) = 0.64$$ $$cov(X, XY)=M(XXY) - M(X)M(XY)$$ Y no sé cómo calcular $M(XXY)$ . Porque la idea de $M(XXY) = M(X)M(XY)$ lleva a $cov(X,XY) = 0$

Answer 1

Supongo que $M$ en su solución significa Expectativa.

En este problema, $X\sim \text{Bin}(40, 0.01)$ y $Y\sim \text{Bin}(80, 0.02)$ donde $X$ y $Y$ son independientes. En particular $$ \text{Cov}(X, XY)=EX^2Y-EXEXY $$ Para calcular $EX^2Y$ utilizamos el hecho de que si $X, Y$ son independientes, entonces también lo son $\varphi(X)$ y $\psi (Y)$ donde $\varphi$ y $\psi$ son cualquier función (medible). En particular $X^2$ y $Y$ son independientes y por lo tanto $$ EX^2Y=EX^2EY $$ que puedes calcular.