Conocimiento acerca de $\sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(nx)\cos(my)}{n^2+m^2}$

Question

Alguien puede darme algo de información sobre la siguiente suma doble? Yo estaría profundamente agradecido. $$\sum_{m=1}^\infty \sum_{n=1}^\infty \frac{\cos(nx)\cos(my)}{n^2+m^2},$$

donde $x,y\in[-\pi,\pi]$.

Ni siquiera sé si converge para $(x,y)\neq(0,0)$... Para el primer suma de Mathematica me da un poco de suma de funciones Hipergeométricas, pero no puede hacer el segundo y ni siquiera sé cómo hacer frente a esta bestia...

Answer 1

El doble de la suma sólo converge al $x$ $y$ no son múltiplos de $2 \pi$. Para ver esto, evaluar el interior de la suma de $n$ por la ampliación de la suma del rango de a $-\infty$ y utilizando el teorema de los residuos. Es decir, escribir

$$\begin{align}\sum_{n=-\infty}^{\infty} \frac{\cos{n x}}{n^2+m^2} &= -\sum \text{Res}_{z=\pm i m} \frac{\pi \cot{\pi z}\, \cos{x z}}{z^2+m^2}\\ &= \frac{\pi}{m} \text{coth}\,{\pi m}\, e^{-|m| x} + \text{exponentially small error}\end{align}$$

El doble de la suma, a continuación, toma la forma

$$\frac12 \sum_{m=1}^{\infty} \left [ \frac{\pi}{m} \,e^{-m x}\text{coth}\,{\pi m} - \frac{1}{m^2}\right] \cos{m y}$$

La suma converge a menos que ambos $x$ $y$ son cero.

Answer 2

El punto de esta respuesta es solo para ampliar la información sobre lo que escribí en los comentarios, que esta suma no es absolutamente convergente. Intuitivamente, $|\cos (n x) \cos(m y)|$ se reparte por igual entre el$0$$1$. Si nos aproximada como una constante $c>0$, entonces la suma es $$\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{c}{m^2+n^2}.$$ Tenemos $$\sum_{m=1}^{\infty} \sum_{n=1}^{\infty} \frac{c}{m^2+n^2} \approx \int_{t^2+u^2 \geq 1} \frac{c \ dt\ du}{t^2+u^2}= \int_{r=1}^{\infty} \frac{(\pi/2) \ c\ r\ dr}{r^2} = \frac{\pi c}{2} \int_{r=1}^{\infty} \frac{dr}{r}$$ que diverge.

Para ser rigurosos, uno necesitaría enlazado $|\cos(nx) \cos(my)|$ de los de abajo. Voy a hacer que si usted lo necesita; pero yo sólo quería señalar lo que el comportamiento que usted debe esperar.