Suma de los coeficientes de $x^i$ (Aplicación del teorema multinomial)

Question

Un polinomio en $x$ se define por $$a_0+a_1x+a_2x^2+ \cdots + a_{2n}x^{2n}=(x+2x^2+ \cdots +nx^n)^2.$$ Demuestre que la suma de todos los $a_i$ , para $i\in\{n+1,n+2, \ldots , 2n\}$ es $$ \frac {n(n+1)(5n^2+5n+2)} {24}.$$

No sé cómo proceder. Conozco el teorema del multinomio, pero tengo problemas para aplicarlo. Cualquier ayuda será apreciada ya que me ayudará a entender bien el teorema.

Gracias.

Answer 1

He aquí un método fácil que utiliza los coeficientes multinomiales. Ponga $x=1$ para obtener la suma de todos los coeficientes. Ahora, queremos evaluar $\sum_{i=0}^na_i$ entonces lo restaremos de la suma de todos los coeficientes. Obsérvese que estos coeficientes permanecerán inalterados incluso en la siguiente expansión (porque los términos adicionales no contribuyen a potencias menores que $x^{n+1}$ ): $$(x+2x^2+3x^3+...)^2 = x^2(1+2x+3x^2+...)^2$$ $$ = x^2\Bigg(\frac{1}{(1-x)^2}\Bigg)^2$$ $$ = \frac{x^2}{(1-x)^4}$$ $$ = x^2\sum_{m=0}^\infty\binom{m+4-1}{4-1}x^m$$ Ahora, aplica la identidad que $$\sum_{i=k}^n\binom{i}{k} = \binom{n+1}{k+1}$$ y ya está.

Espero que te sirva de ayuda:)

Answer 2

Escriba $(x+2x^2+\cdots+nx^n)^2=(x+2x^2+\cdots+nx^n)(x+2x^2+\cdots+nx^n)$ y para cada coeficiente del primer factor encontrar la suma de los coeficientes del segundo factor con los que entrará en la suma deseada: El coeficiente $k$ en el primer factor se empareja con $n+1-k$ a través de $n$ en el segundo factor, por lo que contribuye

\begin{eqnarray*} k\sum_{j=n+1-k}^nj &=& k\left(\sum_{j=1}^nj-\sum_{j=1}^{n-k}j\right) \\ &=& k\left(\frac{n(n+1)}2-\frac{(n-k)(n-k+1)}2\right) \\&=& \left(n+\frac12\right)k^2-\frac12k^3\;. \end{eqnarray*}

Entonces, sumando sobre $k$ rinde

\begin{eqnarray*} \sum_{k=1}^n\left(\left(n+\frac12\right)k^2-\frac12k^3\right) &=&\left(n+\frac12\right)\sum_{k=1}^nk^2-\frac12\sum_{k=1}^nk^3 \\ &=& \left(n+\frac12\right)\frac{n(n+1)(2n+1)}6-\frac12\left(\frac{n(n+1)}2\right)^2 \\ &=& \frac{n(n+1)(5n^2+5n+2)}{24}\;. \end{eqnarray*}

Answer 3

Dejemos que $S_n$ sea la suma requerida. Expandiendo el lado derecho de $$a_0 + a_1 x + \ldots + a_{2n} x^{2n} = (x + 2x^2 + \ldots + nx^n)^2$$ tenemos

$$a_{n+i} = n \cdot i + (n-1) \cdot (i+1) + (n-2) \cdot (i+2) + \cdots \ + i \cdot n$$ para $i=1, 2, \ldots, n.$

Suma de $i=1,2,\ldots, n$ da

$$ S_n = n(1 + 2 + 3+ \ldots + n) + (n-1)(2+ 3 + \ldots + n) + \ \ldots \ + 2( (n-1) + n) + 1(n) $$

Los términos entre paréntesis son la suma de los primeros $n$ enteros (lo que equivale a $\binom{n+1}{2}$ ) menos la suma del primer $k$ enteros (lo que equivale a $\binom{k+1}{2}$ ) por lo que obtenemos

$$ S_n = \sum_{k=0}^{n-1} (n-k) \left( \binom{n+1}{2} - \binom{k+1}{2} \right)$$

$$ = \binom{n+1}{2} \sum_{k=0}^{n-1} (n-k) - \sum_{k=1}^{n-1} \binom{n-k}{1} \binom{k+1}{2}$$

De nuevo, tenemos $\sum_{k=0}^{n-1} (n-k) = \binom{n+1}{2}$ por lo que el primer término anterior se simplifica a $\binom{n+1}{2}^2.$

Para elegir un $4$ -elemento subconjunto de $n+2$ elementos seguimos este esquema - Escoge el elemento $k+2$ ( $ \ k$ de $1$ a $n-1$ ) para ser $3$ -elemento del subconjunto, entonces escoge $2$ de la $k+1$ elementos a su izquierda y $1$ del elemento $n-k$ a su derecha. Sumando todas las posibilidades de lo que el $3$ rd elemento podría ser rendir el segundo término anterior.

Por lo tanto, $$S_n = \binom{n+1}{2}^2 - \binom{n+2}{4}$$ $$ \ \ \ \ \ \ \ \ \ = \frac {n(n+1)(5n^2+5n+2)} {24}$$

Answer 4

Puedes comprobar en el enlace que es similar a tu pregunta. https://www.mathsdiscussion.com/forum/topic/sum-of-coefficients/?part=1#postid-55