Tomar en serio el "zoom sobre un punto de un gráfico"

Question

En las clases de cálculo se dice a veces que la recta tangente a una curva en un punto es la recta que obtenemos "acercando" ese punto con un microscopio infinitamente potente. Esta explicación nunca se traduce en una definición formal, sino que aproximamos la recta tangente mediante rectas secantes.

Parece que he encontrado la manera de obtener líneas tangentes (y más) tomándome en serio el "zoom".

Ejemplo 1

Toma la curva $y = x(x-1)(x+1)$ .

Quiero encontrar una ecuación para la recta tangente a esta curva en el origen. Así que me acerco al origen con un microscopio de potencia de aumento $c$ (es decir, me estiro tanto vertical como horizontalmente por un factor de $c$ ) para obtener

$\frac{y}{c} = \frac{x}{c}(\frac{x}{c} - 1)(\frac{x}{c}+1)$ .

Multiplicando por $c$ Tengo

$y = x(\frac{x}{c} - 1)(\frac{x}{c}+1) $

Ahora dejando que mi poder de aumento vaya al infinito tengo

$y = -x$

Cuál es la respuesta correcta.

Ejemplo 2

Toma la curva $y = x^2$ .

Quiero encontrar una ecuación para la recta tangente a esta curva en el punto (3,9). Primero reescribo la ecuación como

$(y-9) + 9= ((x-3) + 3)^2$

para que me centre en el punto adecuado. Para enfocar este punto con aumento $c$ Tengo

$\frac{y-9}{c} + 9 = (\frac{x-3}{c} + 3)^2$ .

$\frac{y-9}{c} + 9 = \frac{(x-3)^2}{c^2} + 6\frac{x-3}{c} + 9 $ Multiplicando por $c$ Tengo

$y - 9 = \frac{(x-3)^2}{c} + 6(x-3) $

Ahora dejando que mi poder de aumento $c$ ir al infinito tengo

$y - 9 = 6(x-3)$

Cuál es la respuesta correcta.

Ejemplo 3

Este es el ejemplo que realmente me motivó a considerar todo esto:

Toma la curva $y^2 = x^2(1 - x)$ .

Se trata de una curva cúbica con una singularidad en el origen, por lo que no tiene una línea tangente bien definida. Parece que debería tener dos líneas tangentes (y = x, e y = -x), pero es un poco complicado formalizar esto. Veamos qué hace el "zoom":

$\frac{y^2}{c^2} = \frac{x^2}{c^2}(1 - \frac{x}{c})$

$y^2 = x^2(1 - \frac{x}{c})$

Dejar $c$ ir al infinito tengo

$y^2 = x^2$ o $(y-x)(y+x) = 0$ , que es el par de líneas que deseaba.

Mis preguntas

1. ¿Hay algún libro que adopte este enfoque a la hora de desarrollar el derivado?

2. Me imagino que los geómetras algebraicos hacen este tipo de cosas formalmente. ¿Existe un análogo más riguroso de la prestidigitación a la que me dedico arriba? ¿Dónde podría buscar información sobre este tipo de cosas?

p.d. Estaría bien ilustrar cada uno de estos ejemplos con una pequeña película del proceso de "acercamiento", pero no estoy seguro de cómo poner esas cosas en MO. ¿Algún consejo?

Answer 1

Como ha comentado AmbroseH, el libro de Keisler adopta este enfoque pedagógico. La pega es que su libro es antiguo, está descatalogado y utiliza el enfoque infintesimal. Habla de "microscopios infinitos" y "telescopios infinitos" (estos últimos para las asíntotas horizontales y verticales de las curvas) y tiene ilustraciones (lamentablemente sin color ni animación). Se puede descargar el libro de su página web (licencia Creative Commons).

Puedes encontrar apuntes más recientes (todavía no son libros de texto completos) que esbozan cómo enseñar el cálculo utilizando varios sabores de infinitesimales (sin sacrificar una base matemática rigurosa):

1. Keisler utiliza un análisis no estándar al estilo de Robinson. Una variante más reciente es el análisis no estándar relativizado. En lugar de dos "niveles", estándar y no estándar, se trata de tortugas hasta el final. Véase estas diapositivas para una introducción y citas.

2. Un sabor muy diferente es el análisis infinitesimal suave, que utiliza infinitesimales nilsquare (y puede utilizar la lógica intuicionista). En este caso una exposición .

3. La idea de los infinitesimales nilsquare se generaliza a los infinitesimales nilpotentes. Este se discute aquí por ejemplo.

Dado que has etiquetado tu pregunta como geometría algebraica, mi opinión es que prefieres la opción 2 o 3.

Por último, podría encontrar este relevante; hay un libro de cálculo aún más antiguo (pero no agotado) que tiene una pedagogía maravillosa, pero que implícitamente lanza nilsquares sin ninguna pretensión de rigor.

Answer 2

Hugh Thurston exploró este punto de vista (o, más bien, la reformulación tangencial-cónica descrita por Jack Huizenga ) en una serie de artículos en Amer. Math. Monthly y Math. Mag. a mediados de los años 60: http://www.ams.org/mathscinet/search/publications.html?pg1=AUCN&s1=Thurston%2C+H%2A&co1=AND&pg2=ALLF&s2=tangente .

Answer 3

A los alumnos de primer año de cálculo, intento explicarles que sólo estamos poniendo un "microscopio" a las diferentes curvas y normalmente obtenemos una de las cuatro imágenes.

texto alternativo http://www.freeimagehosting.net/newuploads/527b9.gif

Pero imaginar el tipo de patologías que pueden producirse es mucho más difícil cuando se va más allá del cálculo. La función de Cantor. Podemos imaginar que la función de Cantor es plana si nos acercamos fuera del conjunto de Cantor, pero es la "escalera del diablo" si nos acercamos a un punto del conjunto de Cantor. El movimiento browniano nunca se "calmará" por mucho que se acerque, ya que no tiene una variación limitada.

Estaría bien tener un libro de imágenes de estas patologías.

Answer 4

¡Excelente pregunta! Uno de los primeros defensores del enfoque "zoom in" es el matemático y especialista en educación David Tall, de Warwick; véase, por ejemplo http://www.tallfamily.co.uk/david/papers/2.embodied-calculus Su último trabajo relacionado es una reevaluación del legado de Cauchy aquí . La idea básica es que se introduzcan las ideas de zoom e infinitesimales informales antes de que se produzca cualquier formalización. Una vez que el alumno domina los conceptos clave, el curso puede derivar hacia el cálculo estándar o no estándar.