Tomar en serio el "zoom sobre un punto de un gráfico"

Question

En las clases de cálculo se dice a veces que la recta tangente a una curva en un punto es la recta que obtenemos "acercando" ese punto con un microscopio infinitamente potente. Esta explicación nunca se traduce en una definición formal, sino que aproximamos la recta tangente mediante rectas secantes.

Parece que he encontrado la manera de obtener líneas tangentes (y más) tomándome en serio el "zoom".

Ejemplo 1

Toma la curva $y = x(x-1)(x+1)$ .

Quiero encontrar una ecuación para la recta tangente a esta curva en el origen. Así que me acerco al origen con un microscopio de potencia de aumento $c$ (es decir, me estiro tanto vertical como horizontalmente por un factor de $c$ ) para obtener

$\frac{y}{c} = \frac{x}{c}(\frac{x}{c} - 1)(\frac{x}{c}+1)$ .

Multiplicando por $c$ Tengo

$y = x(\frac{x}{c} - 1)(\frac{x}{c}+1) $

Ahora dejando que mi poder de aumento vaya al infinito tengo

$y = -x$

Cuál es la respuesta correcta.

Ejemplo 2

Toma la curva $y = x^2$ .

Quiero encontrar una ecuación para la recta tangente a esta curva en el punto (3,9). Primero reescribo la ecuación como

$(y-9) + 9= ((x-3) + 3)^2$

para que me centre en el punto adecuado. Para enfocar este punto con aumento $c$ Tengo

$\frac{y-9}{c} + 9 = (\frac{x-3}{c} + 3)^2$ .

$\frac{y-9}{c} + 9 = \frac{(x-3)^2}{c^2} + 6\frac{x-3}{c} + 9 $ Multiplicando por $c$ Tengo

$y - 9 = \frac{(x-3)^2}{c} + 6(x-3) $

Ahora dejando que mi poder de aumento $c$ ir al infinito tengo

$y - 9 = 6(x-3)$

Cuál es la respuesta correcta.

Ejemplo 3

Este es el ejemplo que realmente me motivó a considerar todo esto:

Toma la curva $y^2 = x^2(1 - x)$ .

Se trata de una curva cúbica con una singularidad en el origen, por lo que no tiene una línea tangente bien definida. Parece que debería tener dos líneas tangentes (y = x, e y = -x), pero es un poco complicado formalizar esto. Veamos qué hace el "zoom":

$\frac{y^2}{c^2} = \frac{x^2}{c^2}(1 - \frac{x}{c})$

$y^2 = x^2(1 - \frac{x}{c})$

Dejar $c$ ir al infinito tengo

$y^2 = x^2$ o $(y-x)(y+x) = 0$ , que es el par de líneas que deseaba.

Mis preguntas

1. ¿Hay algún libro que adopte este enfoque a la hora de desarrollar el derivado?

2. Me imagino que los geómetras algebraicos hacen este tipo de cosas formalmente. ¿Existe un análogo más riguroso de la prestidigitación a la que me dedico arriba? ¿Dónde podría buscar información sobre este tipo de cosas?

p.d. Estaría bien ilustrar cada uno de estos ejemplos con una pequeña película del proceso de "acercamiento", pero no estoy seguro de cómo poner esas cosas en MO. ¿Algún consejo?

Answer 1

Una animación de su primer ejemplo, $y=x(x−1)(x+1)$ . He limitado el número de fotogramas para que el archivo no sea demasiado grande (ahora es de ~1MB). La velocidad de fotogramas depende del navegador y del procesador. En el mejor de los casos, esto da una idea de lo que un animación profesional.

---

          

---

Answer 2

En geometría algebraica, esta construcción se conoce como cono tangente al gráfico. De forma más general, supongamos que tenemos el conjunto cero de cualquier polinomio $f(x,y) = 0$ y asumir $f(0,0)=0$ . Entonces podemos escribir

$f(x,y) = a_m (x,y) + a_{m+1}(x,y) +a_{m+2}(x,y) +\cdots$

donde $a_i(x,y)$ es un polinomio homogéneo de grado $i$ y $a_m$ es distinto de cero. El conjunto cero de $a_m$ se llama cono de tangencia a la curva en el origen. Es un producto de $m$ formas lineales (sobre $\mathbb{C}$ ), y $m=1$ exactamente cuando el conjunto cero es suave en el origen. En este caso, el cono tangente coincide con el espacio tangente.

Desde su punto de vista, cuando sustituimos $x\mapsto x/c$ y $y\mapsto y/c$ está claro que el término que queda en el límite es $a_m$ .

Por supuesto, podemos encontrar conos tangentes en otros puntos del conjunto cero cambiando las coordenadas.

En general, para una función suave $f$ deberías ser capaz de tomar una expansión de Taylor multivariante y leer el cono tangente de la parte de menor grado. Aquí es donde surge la dificultad para definir realmente la recta tangente en términos del cono tangente en una clase de cálculo, ya que el cálculo de la expansión de Taylor exige que ya tengamos una noción de derivada. Evidentemente, esta dificultad no se da en el caso de los polinomios, aunque recentrar la expansión de Taylor de un polinomio en un punto diferente es quizás lo más fácil de hacer con la ayuda de las derivadas.

También se pueden encontrar análogos de mayor dimensión sin necesidad de realizar ningún trabajo real, aunque en el caso singular el cono tangente es mucho más interesante que una simple unión de hiperplanos: será un cono sobre alguna variedad. El polinomio homogéneo $a_m(x_1,\ldots,x_n)$ normalmente no es un factor en un producto de formas lineales cuando $n>2$ .

Los conos tangentes se tratan en cualquier introducción razonable a la geometría algebraica, como el libro "First course" de Harris o Shafarevich.

Answer 3

No he visto que ningún libro de Cálculo adopte este enfoque. Posiblemente, esto se debe a que no está claro cómo proceder en el caso de funciones que no son polinomios. Consideremos incluso la muy bonito función $y = e^x$ y digamos que te interesa la recta tangente a la gráfica en (0,1).

Usando su esquema y el hecho de que $e^{a+b} = e^a\cdot e^b$ se escribe $\frac{y-1}{c} = e^\frac{x}{c}$ . Esto nos deja con
$$ y = 1 + c \cdot e^\frac{x}{c} $$

Mientras se toma el límite como $c \to \infty$ ciertamente da la respuesta correcta $y = 1+x$ No estoy seguro de cómo calcular este límite sin utilizar las series de Taylor o la regla de L'Hospital, que requieren conocer la derivada de $e^x$ .

Por supuesto, te encontrarás con dificultades similares si intentas calcular la derivada de esta función a partir de la definición basada en el límite directamente. Si no recuerdo mal, los libros de texto estándar de Cálculo sortean esta molestia declarando la respuesta sin pruebas o utilizando la diferenciación implícita y $\ln(y) = x$ . No es demasiado difícil obtener la derivada de la función logarítmica natural a partir de los primeros principios.

Answer 4

El espacio tangente $T_pM$ de una variedad riemanniana $M$ con métrica interna $d$ puede realizarse como el límite de Gromov-Hausdorff punteado como $\lambda\rightarrow\infty$ de $(\lambda M, p)$ donde $\lambda M$ es $M$ con la métrica $\lambda d$ .

Answer 5

Como dice Rbega en los comentarios, si realmente quieres ver esta idea de reescalado puesta en práctica de una manera más rigurosa o avanzada, entonces puedes mirar algo de Teoría de la Medida Geométrica. Aunque parecerá muy técnica en comparación con esto (porque está diseñada para objetos geométricos potencialmente mal definidos o muy débilmente definidos), este tipo de reajuste homotético es estándar para definir objetos tangentes a cosas. Obtienes una especie de convergencia débil de los reescalados de tu objeto original al objeto tangente, el cual, dependiendo de las circunstancias, puede muy bien (o tal vez sea de esperar) mostrar algún tipo de rigidez, por ejemplo, puede tener que ser un cono. Es riguroso y sí, puedes acabar con cosas como la unión de dos líneas como tu objeto tangente.

En el caso especial de la gráfica de una función diferenciable, el objeto tangente en un punto será efectivamente la gráfica de la función afín asociada a la derivada en el punto.

Sin embargo, no conozco ningún libro que adopte este enfoque pedagógico en el desarrollo del cálculo.