Maximizar la probabilidad, de forma que la suma de los tres números sea al menos uno

Question

Fuente: AoPS

La suma de cinco números reales es $8/5$ . Sea $P$ denota la probabilidad de que si se eligen tres números diferentes al azar (de entre los cinco), la suma de los tres números sea al menos uno.

Encuentra el valor de los cinco números, tal que $P$ es máxima.

Nota para números iguales, $P=0$ Así que no tengo ni idea... ¡Por favor, ayuda!

Answer 1

Hay $10$ triples equiprobables de los cinco números. Cada número aparece $6$ veces en los tríos. Cada par de números aparece $3$ veces y los diferentes tripletes aparecen sólo una vez.

Si te concentras $\frac 85$ en un número entonces la probabilidad de obtener una suma mayor o igual a $1$ sería $\frac1{10}\times 6=0.6$ . Si se concentra el total en $2$ números diferentes entonces lo mismo sería sólo $0.3$ .

Sin embargo, si se divide $\frac85$ a tres partes iguales $(0.53)$ entonces la probabilidad de obtener una suma superior a $1$ será será $0.8$

Dividir la suma en cuatro partes iguales $(0.4)$ tendrá como resultado $0.4$ .

Yo dividiría $\frac85$ a $3$ a partes iguales.

Answer 2

He ejecutado un problema de optimización tal que

si $x_1,x_2,x_3,x_4,x_5$ son los cinco números reales, entonces las restricciones son

$x_1+x_2+x_3-y_1\ge0$

$x_1+x_2+x_4-y_2\ge0$

$x_1+x_2+x_5-y_3\ge0$

$x_2+x_3+x_4-y_4\ge0$

$x_2+x_3+x_5-y_5\ge0$

$x_2+x_4+x_5-y_6\ge0$

$x_1+x_3+x_4-y_7\ge0$

$x_1+x_3+x_5-y_8\ge0$

$x_1+x_4+x_5-y_9\ge0$

$x_3+x_4+x_5-y_{10}\ge0$

$x_1+x_2+x_3+x_4+x_5=\frac{8}{5}$

$x_i\gt0$

$y_i = 0$ o $1$

Función objetivo $P = \sum_{i=1}^{10}\frac{y_i}{10}$

Al ejecutar este problema de optimización Max de $P = 0.7$ para tres valores cualesquiera de x que sean iguales a $0.4$ y los otros dos iguales a $0.2$

Solución $\boxed{x_i = 0.4, i = 1,2,3}$ y $\boxed{x_i = 0.2, i = 4,5}$

Answer 3

El programa de optimización demuestra obviamente que $P=0.7$ es lo mejor que se puede conseguir, pero eso es una prueba de la máquina. Aquí hay una prueba más "tradicional" :)

Que los 5 números sean $a \le b \le c \le d \le e$ . Si sólo hay un triplete que falla (es decir, cuya suma $<1$ ) entonces tiene que ser $\{a,b,c\}$ , mientras que si hay un segundo triplete de fallos entonces tiene que ser $\{a,b,d\}$ porque cualquier otra suma de tripletes $\ge a+b+d \ge a+b+c$ .

Supongamos, para una posterior contradicción, que hay trillizos que fallan de 0 a 2. Entonces, en particular, los siguientes dos tripletes son ambos exitosos:

$$a+c+d \ge 1$$

$$a+b+e \ge 1$$

La suma de estos dos implica: $2a + b + c+ d + e \ge 2$ . Sustituyendo $a+b+c+d+e = 1.6$ tenemos: $a \ge 2 - 1.6 = 0.4$ pero como $a$ es el número más pequeño, la suma $a+b+c+d+e \ge 5a \ge 2$ , lo cual es una contradicción.

Por lo tanto NO hay o a 2 tripletas que fallan, es decir, hay al menos 3 tripletas que fallan. Dado que hay ejemplos constructivos con exactamente 3 tripletas que fallan, estos deben ser óptimos.

Por cierto, el mismo argumento también muestra cómo aumentar la suma $S$ (más allá de $1.6$ ) s.t. se pueden tener menos tripletas fallidas. Combinando $a \ge 2 - S$ y $S \ge 5a$ implica: $S \ge 5 (2-S)$ o $6S \ge 10$ o $S \ge \frac{10}{6} = \frac{5}{3} = 1.666...$ Curiosamente, con este valor de $S$ la asignación óptima es que cada número sea $\frac{1}{3}$ y las 10 sumas de triples $=1$ Así que $P=1$ . En otras palabras, la probabilidad óptima $P$ salta de $0.7$ a $1$ en $S=\frac{5}{3}$ y no hay ningún valor de $S$ para el que el óptimo $P$ es $0.8$ (dos trillizos fallidos) o $0.9$ (un triplete fallido).