Grupos que no existen

Question

En el largo proceso que dio lugar a la clasificación de los grupos simples finitos, algunos de los grupos excepcionales sólo se demostraron que existían después de que la gente hubiera calculado (la mayor parte) sus tablas de caracteres y otra información tan precisa que, por lo general, sólo se puede adjuntar a las cosas que existen. Tal vez alguien que conozca los detalles pueda decírmelo:

¿Se conjeturó en algún momento la existencia de un grupo simple finito que al final resultó no existir?

Si es así, ¡esta parte de la historia está mucho menos contada que la parte del éxito! Sería interesante saber si para ese grupo inexistente, digamos, se computó la tabla de caracteres, etc...

Lo pregunto porque acabo de leer esta pregunta en Math.SE y me recordó que siempre he querido saber esto.

Answer 1

Hubo un momento durante la historia de la Clasificación en el que los perseguidores de grupos esporádicos distinguían al Baby Monster, al Middle Monster y al Super Monster. Los dos primeros resultaron existir (aunque se eliminó la palabra "Medio"), pero el tercero resultó ser un fiasco.

http://www.neverendingbooks.org/index.php/tag/simples/page/2 tiene un relato de esto.

Answer 2

No estoy seguro de que esto sea lo que está buscando, pero ....

En este libro "Grupos simples finitos", Gorenstein cuenta la historia de la demostración de Feit y Thompson del teorema de orden de impar. A grandes rasgos, es como sigue:

Supongamos que $G$ es un grupo simple de orden impar. Thompson estudió la estructura local del grupo $G$ para obtener información sobre la estructura de los subgrupos máximos de $G$ . A continuación, Feit aplicó la teoría de Brauer-Suzuki de los caracteres excepcionales para obtener una gran cantidad de información teórica sobre el grupo $G$ . Hasta aquí todo bien.

Pero ahora se encuentran con un problema. Buscaban, por supuesto, demostrar una contradicción. Pero, como cuenta Gorenstein, una de las posibles configuraciones de subgrupos máximos e información de caracteres resultó ser extremadamente difícil de refutar. En el espíritu de esta cuestión, se podría decir que encontraron un ejemplo de "grupo que no existe". Al final, tras pasar un año atascado, Thompson consiguió demostrar la contradicción requerida mediante un análisis muy delicado de los generadores y las relaciones del grupo putativo $G$ .

(No tengo un ejemplar del libro de Gorenstein conmigo. Si tengo la oportunidad, podría volver a esta respuesta para poder proporcionar algunas citas. El relato de Gorenstein sobre toda la empresa es realmente estupendo).

Answer 3

Intenté escribir una respuesta más larga que se congeló, así que escribiré una versión más corta. Podrías mirar la historia del "sistema de fusión de Solomon" que surgió en un problema de caracterización realizado por Ron Solomon en su trabajo sobre la clasificación de grupos simples finitos. Esto no ocurre en un grupo finito, sino que Dave Benson demostró que ocurre en un objeto topológico similar a un grupo ("espacio de bucles 2-ádicos") llamado BDI(4).

En cierto sentido, esto condujo a los trabajos de los topólogos (especialmente Broto, Levi y Oliver) sobre " $p$ -grupos finitos locales" (en realidad espacios topológicos, no grupos) que necesitan asociar un sistema de enlace a un sistema de fusión de un finito $p$ -grupo. Aschbacher y Chermak mostraron en un artículo de los Anales hace unos años que el sistema de fusión de Solomon tiene un sistema de enlace asociado, y por lo tanto hay un $2$ -grupo finito local asociado a ese sistema de fusión. Más recientemente, Chermak ha demostrado que existe un $p$ -grupo finito local asociado a todo sistema de fusión saturado en un $p$ -grupo.

Answer 4

Creo que en algún momento se conjeturó (por quién, no lo recuerdo) que el grupo más pequeño de Janko, de orden $175,560=11(11^2-1)(11^3-1)/(11-1)$ debería ser el primero de una secuencia infinita de grupos simples finitos con una fórmula de orden de grupo de tipo Lie. Tales grupos resultaron no existir.