Discutiré cosas que son más aplicaciones del grupo de clases de mapeo al espacio de moduli en lugar de la teoría de Teichmuller per se, pero por supuesto todo esto está estrechamente conectado.
Una de las grandes aplicaciones de este punto de vista es a la cohomología del espacio de módulos. El espacio de moduli de las curvas no es del todo un espacio clasificador para el grupo de clases de mapeo porque la acción del grupo de clases de mapeo sobre el espacio de Teichmuller no es libre, pero todo el problema viene de los elementos de orden finito. Se puede pensar en el espacio de módulos como un "espacio clasificador racional" o un "espacio clasificador de orbifolios" para el grupo de clases de mapeo. El resultado es que la cohomología del grupo de clases de mapeo es idéntica a la cohomología del espacio de moduli con $\mathbb{Q}$ coeficientes.
Intentaré hacer un breve repaso de este campo, pero es enorme y omitiré muchos trabajos importantes.
En la actualidad se sabe mucho sobre la cohomología de grupo de la clase de mapeo. Lo más espectacular es la resolución por Madsen-Weiss de la conjetura de Mumford que da el anillo de cohomología racional en un rango estable. Esto no se conoce a través de los métodos algebro-geométricos.
A esto le siguieron muchos resultados más antiguos. Los más relevantes provienen de una serie de trabajos de Harer de los años 80 que (entre otras cosas) hacen lo siguiente:
1) Demuestre que la cohomología se estabiliza al aumentar el género.
2) Calcula la característica de Euler. En realidad no se trata de un teorema sobre el grupo de clases de mapas, ya que la prueba utiliza una determinada triangulación del espacio de moduli en lugar de la teoría de grupos. Sin embargo, esta triangulación proviene definitivamente de la teoría de Teichmuller y no de la geometría algebraica, y sigue formando parte de este mismo círculo de ideas.
3) Realizar un número de cálculos de baja dimensión (hasta el grado 3 en trabajos publicados y 4 en trabajos no publicados).
El cálculo de $H_2$ de Harer en particular es la clave para calcular el grupo de Picard del espacio de moduli.
Estos cálculos de cohomología de baja dimensión pueden hacerse ahora (básicamente) mediante geometría algebraica. Véase el artículo "Calculating cohomology groups of moduli spaces of curves via algebraic geometry" de Arbarello y Cornalba. Así, el grupo de Picard de los espacios de moduli puede calcularse ahora mediante la geometría algebraica.
Una aplicación más reciente de este punto de vista proviene de un trabajo mío que calcula los grupos de Picard de los espacios de moduli de las curvas con estructuras de nivel (véase mi artículo del mismo título). Creo que sería muy interesante intentar hacer este mismo cálculo utilizando métodos algebro-geométricos, pero no tengo ni idea de cómo hacerlo.
