Si $I_m=\int \frac{x^m}{\sqrt{ax^2+c}}\, dx$ , demuestran que $amI_m=x^{m-1}\sqrt{ax^2+c}-(m-1)c I_{m-2}$ .

Question

El problema: Si $I_m=\int \dfrac{x^m}{\sqrt{ax^2+c}}\, dx$ , demuestran que $amI_m=x^{m-1}\sqrt{ax^2+c}-(m-1)c I_{m-2}$ .

Observar \begin{align*} I_m= & \int \dfrac{x^m}{\sqrt{ax^2+c}}\, dx\\ = & \dfrac{1}{a}\int x^{m-1}d(\sqrt{ax^2+c}) \\ = & \dfrac{1}{a}\left[\dfrac{x^{m-1}}{\sqrt{ax^2+c}}-\int (m-1)x^{m-2} d( \sqrt{ax^2+c})\right] \\ =& \dfrac{1}{a}\left[x^{m-1}\sqrt{ax^2+c}-(m-1)I_{m-2}\right] \end{align*} Esto implica $aI_m=x^{m-1}\sqrt{ax^2+c}-(m-1)I_{m-2}$ que es diferente del resultado requerido. ¿Cuál es el correcto?

Answer 1

Tu tercer y cuarto paso son erróneos. Los pasos correctos son $$I_m = \frac{1}{a}\Bigg[x^{m-1}\sqrt{ax^2+c}-\int(m-1)x^{m-2}\sqrt{ax^2+c}\ dx\Bigg]$$ $$=\frac{1}{a}\Bigg[x^{m-1}\sqrt{ax^2+c}-(m-1)\int \frac{x^{m-2}(ax^2+c)}{\sqrt{ax^2+c}}dx\Bigg]$$ $$=\frac{1}{a}\Bigg[x^{m-1}\sqrt{ax^2+c}-a(m-1)I_m-c(m-1)I_{m-2}\Bigg]$$ y se obtiene el resultado deseado en el siguiente paso.

Espero que te sirva de ayuda:)