¿Cómo debo resolver el siguiente límite?

Question

¿Cómo puedo resolver el siguiente límite?

$$\lim _{x\to \:1} \frac{\left(1-x^{1/2}\right)\left(1-x^{1/3}\right)\cdots \left(1-x^{1/n}\right)}{(1-x)^{n-1}}$$

La solución debería ser 0, pero la fuente no es fiable.

Gracias.

Answer 1

$$\cdots=\lim_{x\to1 }\prod_{k=2}^n\frac{x^{\frac{1}{k}}-1}{(x-1)}\underset{(1)}{=}\prod_{k=2}^n\lim_{x\to1 }\frac{x^{\frac{1}{k}}-1}{(x-1)}\underset{(2)}{=}\prod_{k=2}^n \frac{1}{k}=\frac{1}{n!}$$

Justificaciones:

$(1):$ Porque el producto es finito.

$(2):$ Porque $$\lim_{x\to1 }\frac{x^{\frac{1}{k}}-1}{x-1}=\frac{d x^{\frac{1}{k}}}{dx}\Big|_{x=1}=\frac{1}{k}1^{\frac{1}{k}-1}=\frac{1}{k}$$

Answer 2

La ecuación dada es la misma que $$\lim_{x\to1}\prod_{i=2}^n {1-x^{1/i}\over1-x}.$$ Utilizando $$\lim_{a\to1}{1-a\over1-a^m}=\lim_{a\to1}{1\over1+a+\dots+a^{m-1}}={1\over m},$$ obtenemos $${1\over n!}.$$ ¿La respuesta es realmente $0$ ? ¿O me equivoco? ¿No tienes $(n\to\infty)$ ¿además?