Determinar si un polinomio en un campo finito es separable

Question

Si quiero determinar si un polinomio dado $P$ sobre un campo finito $\mathbb{F}_q$ es separable, ¿cuáles son las posibilidades? Me refiero a :

• ¿Cuál es el método general? Creo que es calcular el GCD de $P$ y $P'$ con el algoritmo de Euclides, pero no estoy seguro.
• ¿Hay alguna situación en la que los consejos puedan obtener el resultado más rápido?

[Bonus] Y para $k = \mathbb{Q}$ ?

Answer 1

Demasiado largo para un comentario:

Cualquier polinomio es separable sobre un campo de característica cero, pero cuidado: esto significa que todas las raíces del polinomio factores irreducibles son simples.

En caso de que la característica sea positiva, digamos $\,p\,$ tenemos que un polinomio $\,f(x)\,$ es no separable si existe otro polinomio (separable) $\,g(x)\,$ sobre el mismo campo s.t. $\,f(x)=g(x^{p^n})\,\,,\,\,n\in\Bbb N$

Answer 2

En cualquier campo, es $p(x)$ tiene raíces repetidas, entonces las comparte con $p'(x)$ su derivada (formal). Así que el GCD que mencionas ayuda a eliminar las raíces múltiples, pero no a mostrar si el polinomio es irreducible. Si es hasta un quíntico, la comprobación de que no tiene factores lineales o cuadráticos (por división larga, y mirando si alguna combinación de coeficientes da resto cero) responde a la pregunta definitivamente, para grados más altos se vuelve complicado...

La mayoría de los paquetes de álgebra computacional incluyen técnicas eficientes para la factorización de polinomios. El (tristemente inacabado) "Computación en campos finitos" de John Kerl puede ser de ayuda.