Olimpiada Británica de Matemáticas (BMO) 2003 Ronda 1 Pregunta 5 ¿existe una solución con el teorema de fermat o crt?

Question

La pregunta dice:

Dejemos que $p,q$ y $r$ sean números primos.

Se da

$p$ divide $qr 1$ ,

$q$ divide $rp 1$ ,

$r$ divide $pq 1$ .

Determinar todos los valores posibles de $pqr$

Mi pregunta concreta es ¿existe una solución con el teorema de fermat o crt? Mi intento en este sentido es el siguiente:

Sabemos que $p,q,r$ no pueden ser todos Impares, de hecho exactamente uno de ellos debe ser evento. $w.l.o.g$ dejamos que $p = 2$ entonces tenemos $q,r$ son impar. Esto significa

$qr - 1$ mod $p = 0$ $\Rightarrow$ $qr$ mod $2 = 1$

$2r - 1$ mod $q = 0$ $\Rightarrow$ $2r$ mod $q = 1$

$2q - 1$ mod $r = 0$ $\Rightarrow$ $2q$ mod $r = 1$

Así, tenemos $r$ es la inversa del módulo $q$ de 2 y de forma similar para q módulo $r$ . No sé si algo de esto es útil...

P.D. Sé que esta pregunta se ha hecho en este sitio web pero aquí estoy preguntando específicamente si existe un tipo de solución

Answer 1

Es poco probable que haya soluciones significativas utilizando estos teoremas. El pequeño teorema de Fermat sólo sería útil en situaciones que impliquen potencias, pero esta pregunta no contiene ninguna. Además, la TRC produciría un número infinito de posibilidades basadas en un módulo y el argumento de limitación seguiría siendo necesario para fijarlas.