¿Admite el funtor del componente de ruta un adjunto derecho?

Question

¿La función $\pi_0:Top\to Set$, que envía un espacio topológico a sus componentes conexas por caminos, ¿posee un adjunto derecho?

Si no es así, ¿posee un adjunto derecho si lo restringimos a ciertos espacios topológicos, digamos complejos CW?

Answer 1

Como alguien mencioné, esto no puede hacerse en general, pero si nos restringimos a espacios localmente conexos por caminos (en los que componentes por caminos y componentes conexas coinciden) $\pi_0$ tiene un adjunto derecho.

Sea $Top$ la categoría de espacios localmente conexos por caminos, definimos $F: Set \rightarrow Top$ tomando un conjunto $A$ a $A$ con la topología discreta. Dado que los mapas continuos preservan componentes conexas, el valor de una función $$f: X \rightarrow A$$ en una componente conexa está determinado por un único punto en la componente. Por lo tanto $$\mathrm{Hom}_{Top}(X,F(A)) \cong \mathrm{Hom}_{Set}(\pi_0(X),A).$$